SECTION IV

Recherche des invariants des formes du cinquième degré.

Nous représenterons la forme proposée par

le covariant quadratique par

cp = {ab'— ^bc'^^c'^)x^^ {aa'—^bb'-^ icc') xy-\- {a' b — ^b' c -\-Zc'^)y^, et enfin la transformée canonique par

F = AX5-i-5BX4Y-+-ioGX3Y2 + ioG'X2Y3-+-5B'XY4-f-A'Y8.

Cela posé, puisque le covariant quadratique de F se réduit par hypothèse à l'expression XY ^A, nous aurons, entre les coefficients de F, les relations suivantes :

AB'— 4BG'-f-3G2 = o, AA'— 3 BB'h- 2 GG'= /Â, A'B — 4B'G-f-3G'2 = o,

et c'est sous ces conditions qu'il nous faut obtenir l'expression la plus générale d'une fonction entière des coefficients de F, qui ne change pas en y faisant la substitution

X = coY], Y=.— -^

Une analyse plus longue que difficile, et que je n'ai pas encore assez simplifiée pour l'exposer ici, m'a donné les propositions suivantes :

I® Toute fonction entière des coefficients A, B, C, . . ., qui ne change pas quand on transforme F par la substitution

est nécessairement de degré pair.

2° Désignant par ^ ce degré, si Von a

[ji = 0 (mod 4)?

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3o6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

V expression lapins générale d'' une telle fonction sera

I = ©(AA', BB', Q.(y),

6 étant homogène et de degré ^[jl.

3^ Si Von a

(^ = 2 (mod 4),

V expression la plus générale sera

I =:(AGB'2 A'G'B2)ei(AA', BB', GC),

%^ étant une fonction homogène de degré | [jl — a.

De cette dernière proposition découle immédiatement l'existence d'invariants de degré impairement pair, pour les formes du cinquième degré; en effet, si nous considérons l'expression

AGB'2 A'G'B2, qui change de signe par la substitution

il résulte du théorème établi dans la section III que, en la multipliant par y/A, le produit sera nécessairement de la forme-,, I étant un invariant dey(^,j^); on a donc

I = A^y/^CAGB's — A'G'B2) = (AA'- 3BB'-h 2GG')2/^-+i(AGB'2 — A'G'B2),

ce qui est une fonction de degré impairement pair, quel que soit l'entier A", par rapport aux coefficients de F, et par suite par rapport à ceux de/, comme on la reconnaît avec une légère attention. Mais il nous faut encore approfondir la nature de ces quatre quantités