SECTION V

Des covariants similaires.

Revenant au cas général des formes de degré quelconque/(^,j) ) qui ont un covariant quadratique, soit, comme plus haut,

F = AX'« -h 7?iBX''^-i Y -f-. . .+ 7nB'XY'«-i -\- A'Y"S

la transformée à laquelle nous avons donné le nom de forme canonique. Par définition même, le covariant quadratique de F sera simplement XY y^A ; cela posé, nous réunirons par la dénomination commune de covariants similaires de/* ceux qui jouissent de cette propriété, qu'en j faisant la substitution par laquelle /devient F, leurs coefficients reproduisent toujours, à un facteur numérique près, les quantités A, B, . . ., B^, A! ^ multipliées par une puissance de y/A. Cette définition dépend essentiellement du covariant quadratique en x et y, qu'on prend pour base de la réduction à la forme canonique, de sorte qu'on parviendra à un groupe différent de covariants similaires en employant, pour la réduction à la forme canonique, un covariant quadratique en x et y, mais d'un autre degré par rapport aux coefficients. Pour fixer les idées, nous ne considérerons que les groupes se rapportant aux covariants quadratiques dont nous avons en commençant établi l'existence par la loi de réciprocité, et nous en donnerons une première série, en nous fondant sur ce théorème :

Soient ^{oc^y) et "^{oc^y) deux covariants quelconques de f , le degré du second étant supposé non-inférieur à celui du premier, en faisant

cp(jK, — x) = axP -\- p ^xP-'^y H-. . .-^ p^' xyP~^ -h cfJyP^

la forme

^ __ dP^ dP^ dP^ , dPi)

^^~~ ^ dxP ^ ^ dxP-^ dy " ' ^^ dx dyP-^ ^ dyP

sera encore un covariant de f{^).

(^) En supposant cp= «J; =/, ^ s'évanouit identiquement si le degré de / est impair, et reproduit, si le degré est pair, l'invariant quadratique de M. Cayloy, que nous trouvons ainsi par une voie nouvelle et très simple.

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Pour appliquer ce théorème, nous prendrons J> =/, et nous supposerons cp une puissance du co variant quadratique, il viendra alors cette série

dx dy dx'^ dy'^ dx'^ dy^

qui aboutit à un invariant, si le degré de F est pair, et à un covariant linéaire si ce degré est impair. Ce covariant linéaire s'évanouit identiquement dans le cas des formes cubiques, car on a

alors

F = AX3-f. A'Y3;

mais, ce cas excepté, il existe bien effectivement. Prenons pour exemple les formes du cinquième degré, le covariant sera alors

A(GX-i-G'Y),

et, en supposant 0 = 0, G' = o, on ne satisfait plus aux deux relations

AB'- 4BC'-i- 3 G2 = o, A'B — 4B'G 4- 3 G'2 = o,

qui seules existent entre les coefficients de F. J'insiste sur ce point en raison de la grande importance des covariants linéaires pour la théorie arithmétique des formes de degrés impairs, dans laquelle, comme j'essayerai de le faire voir, ils jouent un rôle capital. Mais, jusqu'à présent, nous n'avons obtenu qu'un petit nombre de covariants similaires; parle lemme suivant nous verrons qu'il en existe une infinité.

Nommons comme précédemment ^{oc^y) et "^{x^y) deux covariants quelconques de la forme proposée f; les coefficients du polynôme homogène suivant en \] etY

seront de nouveau des covariants de f.

Nous ferons usage de ce lemme en supposant cp l'un quelconque des covariants similaires précédemment obtenus, et prenant pour A le covariant quadratique. Désignant alors par <Ï)(X, Y) la transformée de cp par la substitution canonique, celle du covariant qu-a

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. SoQ

dratique ^ étant dans le même cas XYy/A, on voit que les coefficients des termes en U et V, dans la forme

«ï>[x(U-Vv/Â), Y(U-f-Vv/Â)],

seront effectivement, d'après notre définition, des covariants similaires. Maintenant chacun d'eux, par l'application répétée du même principe et de celui qui est fondé sur la différentiation, donnera évidemment naissance à une infinité d'autres, tous compris dans la même forme analytique simple, que nous allons indiquer d'une manière plus précise. Soit, pour abréger l'écriture, d'après la notation ingénieuse de M. Cajlej,

de sorte que la première parenthèse renferme dans leur ordre les coefficients de la forme ; donc les covariants similaires du même degré que F, et qui résultent des méthodes précédentes, seront de la forme

^ = v/A2A:+i(aA, 8B, yC, ..., — yC', — ^B\ aA') (X, Y)'*^,

ou de la suivante

*, =A^.(aA, PB, yC ..., yG', pB', aAO(X, Y)'-,

les quantités a, [3, y, . . . étant des constantes numériques. Les autres de degrés m — 2, m — 4, • • • sont de la forme

^''* / /TV ^^'^t

dX^dY^ ^^^ dX^dY^

Cette remarquable simplicité d'expression que prennent par la substitution canonique une multitude de covariants de la forme/, qu'il eût été impossible d'obtenir jamais en fonction explicite des coefficients de cette forme, justifie, ce me semble, l'idée uouvelle des formes canoniques que j'introduis ici.

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