SECTION VI

Recherches ultérieures sur les invariants des formes du cinquième degré.

Notre point de départ sera ce théorème auquel conduisent immédiatement les considérations précédentes : soient cp et cpi les covariants de/, qui deviennent respectivement par la substitution canonique les expressions désignées ci-dessus par <!> et <ï>4 ; ces covariants étant du même degré, on obtiendra un invariant en met-

tant, dans cp(y, —x)^ i ^ m-i ^^^ ^^^^^ ^^ x^y"^~^, d'après un théorème énoncé plus haut.

De là se tire une méthode très simple, dont nous allons faire l'application aux formes du cinquième degré pour exprimer les quantités AA^, BB^, GC^, ... au moyen des coefficients de la forme proposée. Posons

le covariant quadratique, dans le même système de notation, sera (p = (ab'—ibc'^ 3c2, aa'— 3bb'-{- '>.cc\ a' b — ^b' c -\- 3c'2) (^2^ y^y^ ^^2)^ et, en faisant

les diverses formes /, y\, /s, ... seront un groupe de covariants similaires, que nous allons employer à la composition de trois invariants lo, II, lo, à savoir :

Iq en employant/ avec /i, Il id. /s,

J2 id. U

Ces invariants seront respectivement des degrés 4, 8, 12, car il est aisé de voir que les covariants/, /s, f^ sont des degrés 3, 7 et 1 1 . Cela posé, nommons F^, F3, F5 leurs transformées respectives par

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 3ri

la substitution canonique, on aura très facilement ces expressions

F -(A, B, G, G', B', A')(X, Y)s, -F,:=(A, |B,|G, -iG', ~-|B', -A')(X,Y)5v/Â, -F3^(A, -IB, -|G,lGMB',-A')(X,Y)5v/ï^, — F6 = (A, ~B, G, -G', B',-A')(X, Y)5 y/Â^,

d'où l'on déduira

( Io-2/Â(AA'— 3BB'-H2CG')=:='2A, (I; \ Il = '2 v/Â^( AA'-+- BB'- iGC),

I2 = 2 v/as (AA'-i- 5BB'-f- 10GG').

Voici donc un moyen d'obtenir explicitement, par les coefficients de y, les trois quantités AA^, BB', CC, car le déterminant relatif aux équations précédentes est différent de zéro et égal à 2^. Mais les expressions générales données (Section IV) contiennent en outre la quantité ACB^^ — A^C^B^^ que nous obtiendrons de la manière suivante :

Considérons les covariants similaires ayant pour transformées canoniques

en formant le cube du dernier on parviendra aux deux formes

V/Â(B, G, G', B')(X, Y)S et

A3(G3, G2G', GG'2, G'3)(X, Yy,

d'où l'on tire toujours, par le même principe, l'invariant du dixhuitième degré que nous nommerons I,