GB'2 A'G'B

ASy/A

Voici donc, d'aprè« les formules de la Section IV, la conclusion de notre théorie pour les formes du cinquième degré :

I ° U expression la plus générale des invariants de ces formes dont le degré [jl ^ o (mod 4) est

F étant une fonction homogène du degré ^ui.

2° U expression la plus générale des invariants dont le degré [ji ^ 2 (mod 4) est

aV^ \ ^/^ ^^\/^J'

F^ étant une fonction homogène de degré | [a — 2.

Ainsi un invariant quelconque, ou au moins son produit par une puissance de A, est une fonction rationnelle et entière des invariants fondamentaux A, I^, I2, I des degrés 4? 8, 12 et 18. Car les fonctions F et F^ étant homogènes, on peut écrire

I::.: i F ( A3 , Al^ , I^ ) Ct 1'= -^ F^ ( A^ , Al^ , 1^ ).

Nous voyons par là se révéler un caractère essentiel des formes de degré supérieur au quatrième, et qui consiste en ce que les invariants ne peuvent en général s'exprimer en fonction rationnelle d'un certain nombre d'entre eux supposés algébriquement indépendants. M. Cajlej, M. Sylvester et moi avions longtemps pensé qu'en général les invariants des formes de m''^'"^ degré devaient s'exprimer par des fonctions entières àe m — 2 d'entre eux, et c'est même ce qui a empêché M. Sjlvester de chercher à démontrer la loi de réciprocité dont il avait aussi présumé l'existence, une contradiction nécessaire s'étant manifestée entre cette loi et celle du nombre des invariants fondamentaux. Peut-être cependant, s'il m'est permis d'émettre une conjecture sur un sujet si

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 3l3

profond et si difficile, doit-on penser qu'il sera possible d'obtenir, pour les formes d'un degré donné, un petit nombre de groupes d'invariants fondamentaux, types d'autant de séries générales dont l'ensemble comprendrait tous les invariants possibles. C'est ainsi, par exemple, que l'invariant du dix-huitième degré que nous venons d'obtenir pour les formes du cinquième degré s'offre comme le type de tous les invariants de degré impairement pair de ces formes. Sur ce sujet nous allons encore présenter quelques observations.

SECTION VIL Recherche particulière sur l'invariant I du dix-huitième degré.

Je me propose de faire voir que le carré de I est, non seulement une fonction rationnelle, mais même une fonction entière des trois invariants nommés A, I^ et I2. Soit, à cet effet,

I2 — 2I1 A-f- 2A3 =: 32J3 et II — 2A2 = 8J2,

j'adopterai pour invariants fondamentaux J2 et J3 au lieu de 1, et Is, pour la commodité des calculs ; et les équations (I) de la Section VI donneront ces expressions très simples

v/as v/A5 /a^

Cela posé, nous partirons de la relation suivante :

i6(AGB'2 — A'G'B2)2^(AA'BB'— i6BB'GG'— 9G2G'2)2 242BB'G3G'3,

qu'on trouvera identique, en vertu des équations fondamentales qu'on a entre les coefficients de la forme canonique, savoir :

AB' — 4 BG' + 3 G2 = o, A' B — 4 B' G 4- 3 G'2 = o.

On peut effectivement d'abord l'écrire ainsi 242BB'G3G'3r:z ( A A' BB '— 1 6 BB' GG'— 9G2 G'2)2 i6(AGB'2 A'G'B^)?,

ou, en décomposant en produit la différence des carrés,

242BB'G3G'3= [AA'BB'— i6BB'GG'— 9G2G'2-f-4(AGB'2 A'G'B2)] x[AA'BB' — lôBB'GG'— 9G2G'2 4(AGB'2 A'G'B2)].

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3l4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Maintenant les équations