A'C'B2 32BB'GG' = 8BG'(A'B — 4B'G) = — 24 BG

d'où suit l'identité annoncée. L'expression du carré de

AGB'2 — A'G'B-2

étant alors ramenée à ne plus dépendre que des quantités

AA^ BB', ce,

on trouvera, par la substitution des valeurs de ces quantités, une fonction des invariants A, J2, J3, et, en chassant le dénominateur,

i6Aio(AGB'2 — A'G'B2)2

= (— 24JI — I2J2J3A-i-3J|A^-+- J3A3-^J,Ai)2-242j|(J3-f-J2A).

Or il arrive que le second membre contient en facteur A^, de sorte qu'en supprimant ce facteur il viendra

i6A7(AGB'2 A'G'B2)2 :^ 16I2

= — 24J3(*2J| -h3J|)4- 3AJ2(3Ji — 24JI)— i8A-2j|J3

ce qui est une fonction entière des trois invariants fondamentaux

A, J2 et J3(').

(') Dans les Sections VI et VII nous avons fait quelques changements en emjiloyant de suite les notations dont M. Hermite se sert dans la suite du Mémoire. ICn outre, la revision complète des calculs faite par M. Stouff nous a conduit à modifier certains coefficients numériques. E. P.

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 3l5

SECONDE PARTIE

Depuis que la première Partie de ces recherches a été terminée, encouragé par la manière si bienveillante dont elles ont été accueillies par mon ami M. Sjlvester, j'ai repris avec une nouvelle ardeur l'étude algébrique des formes du cinquième degré, et je vais j consacrer cette seconde Partie de mon travail en réservant en dernier lieu les considérations arithmétiques que j'ai annoncées dans l'Introduction. C'est sur une notion analytique nouvelle, celle des formes-tjpes, qui sera tout à l'heure exposée en détail, que se fondent les résultats nouveaux que j'ai obtenus. Cette notion est essentiellement propre aux formes de degrés impairs, avec la seule exception des formes cubiques qui j échappent comme un cas singulier. Pour les formes de degrés pairs il existe quelque chose d'analogue, mais qui, jusqu'à présent, ne s'est présenté à moi que d'une manière plus compliquée. Aussi en parlerai-je seulement pour remarquer que les formes biquadratiques font alors exception, de sorte que les formes des premiers quatre degrés, pour des raisons diverses, doivent être considérées comme présentant des cas singuliers dans les théories générales qui ont pour objet les fonctions homogènes à deux indéterminées. C'est donc, au seul point de vue algébrique, un champ plus vaste et plus fécond de recherches, qui s'ouvre à partir des formes du cinquième degré, où l'on voit apparaître le rôle curieux d'éléments analytiques, qui n'existent pas pour les formes de degrés inférieurs. D'ailleurs c'est dans les méthodes simples et faciles qui se présentent dans cette étude qu'est l'avenir de la science algébrique, car elle seule peut donner les éléments qui distinguent et caractérisent les divers modes d'existence des racines des équations générales de tous les degrés. J'espère que cette dernière considération recevra sa sanction de ce que nous allons développer en particulier sur les formes du cinquième degré.

3l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.