SECTION I

Des formes-types.

La notion des formes-types repose sur l'existence des covariants linéaires, dont i] a été déjà fait mention précédemment, et qu'on obtient de la manière suivante :

Soit, en employant la notation de M. Cayley, f={a,b,c, ..., c\ b\ a')(57, jk)"S une forme de degré impair,

6= [aè' — (/n — i)6c'-i-.».,

aa! ~ {m —i)bb' -\-. . ., ba' — ( m— i) 6'c -t-. . . ] (a?^, xy, y^),

le covariant quadratique de/, et A l'invariant de 6. Nommons S la substitution au déterminant un et aux variables X, Y, qui transforme 0 en y/A.XY; cette même substitution, faite dans la proposée /, donnera ce que nous avons nommé la transformée canonique

Ainsi le caractère essentiel de la forme canonique F est que le covariant 0, analogue à 6, se réduise à ^/AXY; les coefficients A, B, . . . sont donc liés par les relations

( I ) AB' - ( 7?i — i) BG' -h . . . = o, A' B — ( 771 — I ) B' G H- . . . = o.

Ceci rappelé, voici comment s'obtient un covariant linéaire a de la forme/. Elevons 9 à la puissance de {{m — i), ce qui donnera un covariant du degré m — i en ^ et y, puis mettons y el — ^ au lieu de ^ et y] cela fait, en remplaçant un terme quelconque x^yv^ par -^ a// s^ ^^ obtiendra, comme on sait, encore un covariant de/, et ce covariant sera bien du premier degré. Mais il est essentiel d'établir qu'il ne s'évanouit pas identiquement. Soit, à cet effet, A la transformée de X, par la substitution S ;

dx^ dy^

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 3l7

supposant donc

dJ^"^-'^ dy^^"^-'^

A ne pourra s'évanouir identiquement qu'autant qu'on aura G=o, G' = o, mais ces relations ne vérifient pas les équations (i), sauf le cas des formes cubiques. Dans ce cas, en ^ffet,

ayant

A sera

6/Â(BXh-B'Y),

mais les relations ( i )

AB'— B2 = o, A'B— B'2=o exigeront que B= o, B' = o. On en déduit effectivement

AA'BB' = B2B'2, d'où

BB'(AA'— BB') = o.

Si donc le produit BB' n'est pas supposé nul, il faut qu'on ait

AA' — BB'= o, ce qui conduit à la conséquence absurde que

l'invariant