AA'— BB')2 — 4( AB'— B2) (A'B — B
de la forme cubique est égal à zéro. Les covariants linéaires n'ont donc d'existence effective qu'à partir des formes du cinquième
degré
mais pour ces formes il y en aura un nombre infini, dont les degrés, p^r rapport aux coefficients a, b, c, , . ., seront la série des nombres impairs, 5, 7, 9, ....
Le covariant du cinquième ordre sera celui que nous venons d'obtenir et dont le transformé par la substitution S est
i20A(CX-f-G'Y);
le covariant du septième ordre résultera du précédent, en y rem-
plaçant x et y par ;t- et — -7-; d autres pourront s obtenir en
multipliant les précédents par des invariants de f. En se bornant à prendre pour multiplicateur une puissance de A, on obtiendra
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ainsi des covariants linéaires dont les degrés par rapport aux coefficients de / seront les nombres 4^+5 et 4^-1-7? c'est-à-dire la série des entiers impairs à commencer par 5. Nous en conclurons par la loi de réciprocité que toutes les formes dont les degrés sont des nombres impairs à partir de 5 possèdent un covariant linéaire du cinquième degré par rapport à leurs coefficients ^ et il est très facile d'établir qu'elles n'en possèdent pas dont les degrés soient au-dessous de cette limite. Mais pour abréger j'omettrai ce détail, et j'arrive immédiatement à la définition des formes-tjpes. Soient, à cet effet, \ et )n deux covariants linéaires distincts pour une même forme/; désignons par S la substitution
1 = 1 li = ri,
et par ^ la transformée de /en ç et 7^. Je dis que les coefficients de cette forme <ï> seront tous des invariants de /.
Pour le démontrer, voyons ce que deviennent les opérations précédentes en prenant pour point de départ une forme /', transformée de /par une substitution quelconque S. Soit S le déterminant relatif à cette substitution S, V et V^ les covariants analogues k \ et À,- En multipliant par des puissances convenables de S, par exemple 8« et SP, chacune des équations
il résulte de la nature même des covariants que les premiers membres pourront alors être censés provenir du résultat de la substitution S dans X et X|. Ainsi par rapport aux quantités 8°^^', SPv]^, la substitution S' analogue à S, c'est-à-dire la substitution par laquelle ^^^' et SPr^^ s'expriment en x^ et y', sera S'=SS, et son inverse, qu'il faudra effectuer dans /^, sera 2^"^ = S""' S~^ Or on voit qu'en effectuant en premier la substitution S~\ f redevient/, et qu'en faisant ensuite la substitution S~^ on est ramené précisément à la forme <ï>, par rapport aux indéterminées S^'?', §^7l^ De là résulte que les coefficients des formes <ï>, relatives à /, et à une transformée de /, ne diffèrent que par des facteurs qui seront des puissances du déterminant de la substitution; ces coefficients seront des invariants de /; et c'est pour cette raison que nous donnons à <ï> la dénomination àe forme-type.
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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. Sig
SECTION II. Calcul de la forme-type du cinquième degré.
La définition que nous venons de donner ne spécifie pas les covariants linéaires qu'il faut employer dans la substitution qui conduit aux formes-types ; il suffit que ces covariants soient bien distincts, c'est-à-dire que le déterminant relatif à la substitution effectuée soit différent de zéro. Mais dans le cas des formes du cinquième degré, que nous allons étudier, nous ferons choix des deux covariants linéaires les plus simples, qui sont respectivement du cinquième et du septième degré par rapport aux coefficients de la forme proposée. En effectuant dans ces covariants la substitution S qui transforme / dans la forme canonique F, ils deviendront
X = i2oA(GX-f- G' Y), Xi==: 120A v/Â(GX- C'Y),
expressions très simples, qui nous conduisent à faire le calcul de la forme-type, en opérant sur la transformée canonique F, ce qui est permis, puisqu'on parviendra identiquement au même résultat en prenant pour point de départ toute transformée de /, par une substitution au déterminant un. Cela posé, ayant
nous ferons, en supprimant un facteur numérique,
A(GX -H G' Y) = ^, A v/Â (GX - G' Y) = 7],
et si nous représentons la transformée en \ et iq par
il viendra ces expressions,
21= -^^__(AG'^M-A'G^-f-5BCG'i-+-5B'G'G^-f-2oG3G'^), (2GG A)^
55 = ' -(AG'5 — A'G^^-h3BGG'^— 3B'G'GM,
(2GG'A)Sv/a
C = T^^-^^(AG's-HA'G^-i-BGG'4-HB'G'G^-4C3G'^),
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et
r = ^ ^ (AG's - A'C^— BGG'4+ B'G'G^),
(2GG'a)5/a3
^ (AG'SH-A'G5- 3BGG'*— 3B'G'G^-h4G3G'3),
