SECTION V
Recherche particulière sur le discriminant des formes du cinquième degré.
MM. Cajley et Sylvester nomment, comme on sait, discriminant (i^wne/orme/ le résultat de l'élimination de — ? entre les deux
équations homogènes
dx
df dy
On obtient ainsi pour une forme de degré m un invariant de degré 2 (m — i) qui, égalé à zéro, exprime que y* a un facteur linéaire élevé au carré. Dans le cas des formes du cinquième degré, le discriminant est donc un invariant du huitième ordre, et qui, d'après la théorie précédente, doit être de cette forme aJg + a'A^^ a et ^ étant numériques. Mais nous allons en former l'expression par une méthode particulière et sans supposer les résultats généraux établis dans la précédente Section, dont nous voulons offrir ainsi une confirmation dans un cas spécial très important en lui-même. A cet effet, nous nous proposerons généralement d'obtenir les valeurs des invariants fondamentaux, lorsqu'il existe un facteur linéaire élevé au carré dans la forme proposée, c'est-à-dire lorsqu'on peut lui donner cette expression
En observant qu'on peut mettre x ^ky au lieu de x sans que les deux premiers coefficients cessent d'être nuls, disposons de cette quantité k de manière à faire évanouir le coefficient de xy dans le covariant quadratique 6. Nous aurons ainsi une transformée
/i = (o, o, ai, èi, Cl, d^){x,yY,
et il faudra que les nouveaux coefficients vérifient la condition a^ 6^ = o. Comme nous ne voulons point admettre de facteurs li-
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néaires à la troisième puissance, il faudra faire b^ = o, et, si l'on écrit ainsi f^ sous la forme
le covariant 9 sera
ce qui nous conduit à remplacer encore - et ^ par X et Y. Nous trouverons de la sorte cette transformée des formes à facteur
linéaire double
/>Y3-h^(3XY4h-8X3Y2),
où p el q sont des constantes quelconques, et qui a pour covariant quadratique
Gela étant, il suffira de mettre X + Y et X — Y au lieu de X et Y pour obtenir la transformée canonique, qui sera
F = /?(X — Y)s -h ^ (X — Y)HX -h Y ) [3(X — Y )2 -H 8(X -f- y )2], ^ ^(X — Y)-^ -4- ^(X — Y)HX H- Y) (i 1 X2 H- 10 XY -f- 1 [ Y2 ), = {p-^liq^—p — lq^p-~q^—p — q,p— Iq^ ^h.i,^)(X, Y)K
Voici donc en fonction des deux indéterminées p elg les valeurs suivantes, propres au cas d'un facteur linéaire élevé au carré dans la forme proposée, savoir :
APl' = — /)2 ^ 121 q2^ BB' = — /?2 -+- JL q2^ ce == - /)2 | q^.^ AGB'2 A'G'B2 = ^pq{2p^ -H ^2).
On en tire
d'où cette conclusion importante
Le discriminant des formes du cinquième degré est donc obtenu, puisque nous avons un invariant du huitième ordre A^ -f- 2*^12 qui s'évanouit lorsqu'on suppose deux racines égales dans ces formes,
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et il se présente bien sous la forme valide d'après notre théorie générale. Exprimé par les coefficients de la forme canonique, il a cette valeur
discriminante A^ + -2^2 = v/^(AA'+ i25 BB'— 126GC'),
de sorte qu'on a un procédé arithmétique facile pour calculer dans un cas donné cette fonction si importante. Remarquons encore, avant d'aller plus loin, la quantité
qui s'évanouit si la forme proposée contient deux facteurs linéaires différents élevés chacun au carré. Si l'on cherche, en effet, le discriminant de la forme cubique
^ =p{X~ Y)3+^(X^- Y)(IlX2^- ioXY-hiiY2),
on le trouvera, abstraction faite d'un facteur numérique, égal à q^(^2p^ -}- q-) et, d'après les relations précédentes, cette valeur s'exprime ainsi
, 25A3- 2IU3 9 s .
Dans un instant nous allons reconnaître le rôle important que joue cette quantité (^).
