SECTION VI

Expression par les invariants fondamentaux du nombre dss racines réelles et imaginaires de toute équation du cinquième degré.

La possibilité d'un pareil résultat est une conséquence immédiate de ces deux propriétés de la forme-type, d'être une transformée par une substitution réelle de la forme proposée, et d'avoir pour coefficients des invariants. Mais on sent combien il j a loin d'une telle possibilité à un résultat effectif; aussi, depuis l'époque

(^) Dans le cas d'une forme contenant au cube un facteur linéaire, tous les invariants s'évanouissent, comme cela résulte d'un théorème général donné par mon ami M. Cayley dans le Journal de Crelle.

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OÙ je communiquais pour la première fois cette vue à mon ami M. Sjlvester, avais-je désespéré d'aller plus loin, l'application du théorème de M. Sturm n'étant pas praticable sur l'équation littérale et compliquée qui aurait la forme-tjpe pour son premier membre.

La méthode suivante, à laquelle je ne suis parvenu qu'après bien des efforts, me semble peut-être mériter un instant d'attention, car elle offrira, si je ne me trompe, une étude algébrique complète des racines de l'équation générale du cinquième degré, sous le point de vue de la distinction de ces racines comme quantités réelles et imaginaires, lorsqu'on attribue aux coefficients toutes les valeurs réelles possibles. Je ferai précéder cette recherche de quelques lemmes, afin de ne pas interrompre par la suite l'ordre des raisonnements.