LEMMES PRÉLIMINAIRES

Lemme I. — Le produit des carrés des différences des racines d^ une équation de degré quelconque f{x) = o est positif ou négatifs selon que le nombre des racines imaginaires de cette équation est ^ o ou ^2 (mod 4). Supposons cette proposition vraie pour une équation dhin degré déterminé f(^x) =^ o, nous allons démontrer quelle subsiste pour la nouvelle équation

Soient en effet D et D les discriminants, ou, pour plus de précision, les produits des carrés des différences des racines des équations F = o, /= o ; on trouvera sans difficulté

D==(a-P)2/na)/HP)D.

D'où l'on voit qu'en supposant réelles les racines a et p, D et D seront de même signe, tandis qu'en les supposant imaginaires conjuguées, D etD seront de signes contraires, car le produit /(a)/([â) sera positif, et le facteur (a — [3)^ négatif. La proposition annoncée se vérifie donc à l'égard de l'équation F = o si elle a lieu pour l'équation/=: o; ainsi elle est générale, puisqu'elle est vraie dans le cas du second degré. Les exemples suivants montreront déjà un usage de cette remarque.

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Considérons une forme biquadratique

soient I l'invariant du second ordre

et D le discriminant

Je dis qu'en supposant 1 <C o la forme proposée aura deux ou quatre racines imaginaires, suivant que D sera négatif ou positif. On a, en effet, ce qui se vérifie très aisément,

I ^aa'—\hh'-\-^c^= ^ [(a— P)2(y — 0)2

donc, l'hypothèse I < o exclut le cas où toutes les racines sont réelles, et le lemme précédent suffit pour distinguer l'un de l'autre les deux autres cas seuls possibles où le nombre des racines imaginaires est deux ou quatre. Quelque chose d'analogue a lieu aussi pour le cinquième degré; nous allons l'indiquer, bien que nous n'ayons pas à nous en servir par la suite. Soient

D le discriminant, a^(a — p)^. . . et A l'invariant qui figure dans nos recherches, savoir

(aa'— 3^ô'4-2cc')2 — 4(a^>'— 4^c'-4-3c2)(a'Z>— 46'c-h3c'2);

on trouvera

le signe S se rapportant aux termes qu'on déduit de celai que nous avons écrit par les permutations des racines.

II s'ensuit que, en supposant A positif, la forme aura des racines imaginaires, et, comme précédemment, elle en aura deux ou quatre, suivant que D sera négatif ou positif.

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33o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

En passant, remarquons encore cette relation

Lemme II. — Il a été remarqué (Section II) que les coefficients de la forme-type avaient pour commun dénominateur (aJg)^; diaprés cela, et pour plus de commodité^ nous considérons par la suite au lieu de (p la forme (213)^0, c^ est-à-dire

nous ferons

les coefficients n^ offrant plus J3 en dénominateur et ayant ainsi pour valeurs

36A=r A'J2^- A6J3-}-6AU|— 39AU2J3— 9AH6JI— Ji)

— T'iÔAUsJl -f- 288AJI J2 -Hll52J|, 36 G = A6J2+ AU3+GAUI — 27A3J2J3~3A2(i4J| — 3Ji)

— 90AJ3JI -f-i44JiJ2,

36B'=: AU2-+- AU3-f-6A3J| — 15A2J2J3— 3A(ioJ|-3J|) — 54J3Ji; 9B =— I(A^+3A^J2 — -24AJ3), 9G'==— l(A=î-4-3AJ.2 — 12J3), 9A' = -1(;a^+3J2).

Gela posé, on aura ces relations remarquables,

/ AB' — 4BG' -f-3G2 = i6AJ|, (i) I A'B — 4B'G-f-3G'2=: — i6J|,

( AA' ~3BB'+'2GG'=o.

( A - '2AG -hA2B' = Zny\, ^ ' \ B — •iAG'+A^A'^-o;

les premières résultent de l'expression da covariant quadratique de <ï>, qu'on obtient bien aisément. Effectivement, cette forme ^ provient, par le fait de la suppression du dénominateur (2 Js)^, de la transformée canonique F, par la substitution

A(GX-hG'Y)==2J3?, Av/Â(GX — G'Y)=:2J3r,:

donc son covariant quadratique proviendra, par la même substitution, du covariant y/A XY relatif à F, multiplié par la quatrième puissance du déterminant de la substitution, c'est-à-dire par (213)^. Cela donne pour le covariant quadratique de la forme-type

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 33l

cette expression remarquable,

i6Ji(A^2^2),

d'où l'on tire de suite les équations (i).

En recherchant de la même manière le covariant linéaire du cinquième ordre de la forme-tjpe, on obtiendra la valeur

mais, d'après la loi générale de formation (Section I), ce covariant sera

^ ^' [^ dr^^ ^^ dl^drr^^ d^^

= r2o.'28J|o[(A — 2AG-f-A2B')^ + (B — 2AG' + A2A')^J,

d'où l'on conclut les relations (2).

Il serait très important, pour la théorie des formes du cinquième degré, de calculer, comme nous venons de le faire, les valeurs d'un plus grand nombre de covariants de la forme-type ; on recueillerait ainsi des éléments précieux d'observation qui pourraient éclairer la nature des rapports de ces covariants avec la forme dont ils tirent naissance. Pour le moment, nous ne pouvons nous empêcher d'appeler l'attention du lecteur sur la simplicité des équations que nous venons de trouver entre les coefficients si compliqués de la forme-tjpe ; elles vont nous donner une démonstration facile de la proposition suivante, qu'il importe d'établir pour la recherche spéciale que nous avons en vue dans cette Section.

Lemme III. — V équation du quatrième degré par rapport à J2; qu'on forme en égalant à zéro V invariant du dixhuitième ordre^ a toujours deux racines réelles, et deux racines imaginaires.

D'après la valeur que nous avons obtenue pour P, cette équation est

16 12= ASJI-1-2AU2J3+ A3(J|-4-6J|) — 18A2JIJ3

-+-3A(3J|— 24J2JI)— 24(2Ji + 3JlJ3) = 0,

ou, en ordonnant par rapport à J2,

9AJ|-f-6(A3 i'2J3)Ji-f-(AS— i8A2J3)J|

-t-(2 AU3— 72AJ|)J2-f- A3J| — 48 J| =0.

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Elle est, comme on voit, assez compliquée pour qu'on puisse hésiter à j appliquer le théorème de M. Sturm; mais heureusement elle admet une transformée très simple. Effectivement, pour une valeur de J2 qui satisfait à cette équation, les coefficients A, C, B^ donnent, en vertu des équations (i) et (2),

AB'-|-3G2 = i6AJ|,

B'C=- 4Jf,