A — 2AG + A2B'= 32JI

puisque B, C, A', contenant I en facteur, s'annulent. Or, en éliminant A et B^, on trouve

3C^— 8AJ|G^--M^8J|C — 16A2JÎ0 ^ o.

Ce résultat paraîtra bien remarquable, si l'on a égard à la complication de la valeur de C exprimée en fonction de J2; quoi qu'il en soit, cette fonction étant rationnelle et entière par rapport à Jo, il suffira de raisonner sur l'équation en G, et d'établir qu'elle a bien deux racines réelles et deux racines imaginaires. Or le premier point résulte de ce que le dernier terme est essentiellement négatif, et le second de ce qu'en faisant

3G^— 8AJfG2-i-i28JfG-i6A2jio = (a,^>, c, 6', a')(G, i)S

l'invariant du second ordre,

aa'~ \bb' -\~ 3c% a la valeur négative

— ^^^■'il^ (Lemme I).

Des limites entre lesquelles se trouve toujours renfermé l'invariant J2 de toute forme du cinquième degré à coefficients réels.

La forme-type, à laquelle nous avons ramené la forme générale du cinquième degré par une substitution linéaire, ne contenant plus que trois paramètres, A, J2, J3, on est naturellement conduit à étudier les racines de cette forme considérées comme fonctions de ces paramètres, tandis qu'on n'aurait jamais songé à se proposer la même question sur les racines elles-mêmes de la forme primitive, considérées comme fonctions de cinq quantités arbitraires.

Hosted by

Mais, dès l'abord de cette recherche, se présente une circonstance importante. En considérant pour les coefficients de la forme proposée, des valeurs réelles, les paramètres de la forme-tjpe, qu'on ne devra pas déjà supposer imaginaires, ne peuvent même recevoir toutes les valeurs réelles possibles. Il entre, en effet, dans la forme-tjpe, l'invariant I du dix-huitième ordre, qui doit être aussi essentiellement réel, de sorte que (étant algébriquement indépendantes) les quantités A, J2, J3, en tant qu'elles proviennent d'une forme réelle, sont assujetties à cette condition de rendre positive la fonction

16P = 9AJ* + 6(A3— i2J3)Ji -+-(A5 — i8A2J3)Ji

+ (2AU3 — 72AJ|)J2H-A3J| — 48Ji.

Or, quels que soient A et J3, nous avons démontré que l'équation P = o, en prenant J2 pour inconnue, avait toujours deux racines réelles et deux racines imaginaires. Nommant donc y ety^ ces racines réelles, il est aisé de voir qu'en supposant A positif, les valeurs de J2 qui rendront la fonction I réelle seront nécessairement au dehors de l'intervalle compris entre j et f ^ tandis qu'en supposant A négatif ces valeurs seront comprises, au contraire, dans le même intervalle. Une observation très simple confirme cette conclusion que J2 est nécessairement limité quand A est négatif; si l'on suppose, en effet, J2 très grand, on trouvera, en employant les expressions données précédemment des coefficients A, B, . . ., que la forme <î> devient sensiblement proportionnelle à (^y/A — 7^)^, de sorte que les cinq racines se présenteraient toutes comme imaginaires, en devenant égales à la limite, tandis qu'on sait bien que leur commune valeur doit être réelle. Ces limites, que nous venons de trouver pour les valeurs de J2, vont encore se présenter dans une circonstance importante, comme on va voir.

Des limites entre lesquelles les racines de la forme-type sont des fonctions continues de J2, considéré comme une variable réelle.

Nous nous fonderons pour cette recherche sur ce théorème si important dans toute l'Analyse, que l'illustre géomètre, M. Gauchy, a démontré sous un point de vue plus général dans les Nouveaux

Hosted by

exercices de Mathématiques (t. II, p. 109) : « Les racines d'une équation algébrique dont les coefficients contiennent, sous forme rationnelle, un paramètre^ sont des fonctions continues de ce paramètre, tant qu'en variant suivant une loi donnée, en restant toujours réel, par exemple, il n'atteint pas une des valeurs particulières qui font acquérir des racines égales à l'équation proposée. Mais la quantité J2, que nous considérons comme un paramètre variable entrant dans l'équation que nous voulons étudier, savoir,

sous un radical carré I, nous ferons y :=^\x^ ce qui donnera l'équation en y^

(A, IB, PC, r^C, IH3', PA')(7, i)'^-o,

dont tous les coefficients sont rationnels, puisque B, C, A^ contiennent déjà I en facteur. Cela posé, nous allons, pour appliquer le théorème de AI. Cauchj, calculer son discriminant. Or le discriminant D, de la forme primitive

se reproduisant dans toute transformée, multiplié parla vingtième

puissance du déterminant de la substitution, on trouvera d'abord

(2J3)-^.D pour le discriminant de ^, et (2 J3)-^.l2o.D, pour celui

de l'équation en j/. Par là nous voyons que les valeurs de Jo, pour

lesquelles les racines y deviennent discontinues (^ ), sont données

par les équations

1 = 0, D = A^^-^Uo = o.

Et comme le radical carré I est aussi fonction continue de J2, entre les limites déterminées par l'équation I=o, la relation j)/ ^ I^ montre qu'on peut regarder les racines x elles-mêmes comme fonctions continues de J2, tant que cette variable, que nous supposons réelle, n'atteint pas la valeur — 2~^ A^ ou l'une des quantités nommées précédemment y et y^ Peut-être devons-nous faire observer que nous ne considérons pas un autre genre de discontinuité, le passage à l'infini d'une racine, lorsque le coefficient A s'annule. La raison en est que, dans le voisinage d'une valeur

(^) On dirait plutôt aujourd'hui sont irrégulières j car il ne s'agit pas ici d'une véritable discontinuité. E. P.

Hosted by

réelle de J2, qui donnerait A= o, les inverses des cinq racines sont certainement des fonctions continues, et ne pourront passer du réel à l'imaginaire, ou de l'imaginaire au réel, lorsque J2 aura atteint et dépassé la valeur particulière en question, en supposant toutefois, comme il arrive en général, que l'on n'a pas en même temps B=: o. On voit donc qu'aucun changement dans le mode d'existence des racines de la forme-tjpe, comme quantités réelles et imaginaires, ne correspond à cette discontinuité particulière qui provient du passage par l'infini, et qu'ainsi elle n'est pas à considérer dans notre recherche (^). »

Sur les valeurs des racines de la forme-type lorsque J2 est égal à la limite j ou à la limite y'.

Nous avons précédemment distingué avec soin, dans l'ensemble des valeurs réelles de J2, les intervalles entre lesquels cette quantité peut être regardée comme provenant d'une forme à coefficients réels. Franchir les limites assignées sera donc considérer ce que deviennent les racines de la forme-tjpe, pour un état imaginaire des coefficients de la forme primitive. Cependant, si nous supposons toujours J2 réel, ces valeurs imaginaires, qui viendront nécessairement s'offrir, ne seront point entièrement arbitraires, et seront soumises à des conditions spéciales. Or on va voir combien est utile la considération de ces valeurs limitées comme nous le disons, de manière que les invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre restent réels, l'invariant du dix-huitième étant seul affecté du facteur \J — i. Effectivement, nous allons pouvoir suivre de la manière la plus facile et la plus claire comment les racines de la forme-tjpe changent successivement de

(') Cette considération des inverses des racines sert aussi à établir, quand on recherche la distribution en systèmes circulaires des racines v d'une équation de

la forme

Nv"*+ Pv'"-! -!-... =0,

N, P, ... étant des polynômes entiers en ^, que ces systèmes subsistent sans altération lorsque le contour décrit par la variable z vient à comprendre un nombre quelconque de points, auxquels correspondent des racines de l'équation N — o. Voyez à ce sujet le n° 37 du Mémoire de M. Puiseux intitulé Recherches sur les Fonctions algébriques {Journal de Liouville, t. XV).

Hosted by

nature en passant du réel à rimaginaire ou de l'imaginaire au réel, lorsque J2 varie de — 00 à -f- 00, et, par suite, établir ce que sont ces racines dans un intervalle donné, résultat important auquel nous n'aurions pu parvenir en renonçant à ces valeurs de paramètre variable qui supposent nécessairement imaginaires les coefficients de la forme proposée. Voici, pour cet objet, les dernières propositions préliminaires que nous avons à démontrer. Je dis d'abord qu'en supposant D = o, on aura

23212=(25A3 — 3.2l0j3)(25A3-2lU3)2.

C'est une conséquence immédiate de la formule

donnée Section V. On trouvera, en effet, le résultat annoncé en élevant au carré et remplaçant/?^ et q- par leurs valeurs en J3 et A, telles qu'elles résultent des formules de cette Section. Il s'ensuit que, pour D = o, I sera réel ou imaginaire, suivant le signe de la quantité 20 A^ — 8.2*^13, et, par conséquent, le discriminant s'évanouira dans l'intervalle des valeurs admises ou des valeurs exclues de J2, suivant que 25 A^ — 3.2^^J3 sera positif ou négatif. Cela posé, je vais démontrer que si le discriminant ne s'évanouit qu'en dehors des limites J2=y, J2 ^=yS les racines de la formetype présenteront pour ces deux limites un même nombre de quantités réelles et un même nombre de quantités imaginaires. Deux cas sont à distinguer suivant que A est positif ou négatif. Dans l'un et l'autre, les racines de la forme-tjpe seront certainement entre les limites j elj' des fonctions continues de J2 ; dans le second cas, les coefficients de l'équation étant réels, le nombre des racines réelles de l'équation ne peut changer entre y ety' que si D s'annule, ce qui n'a pas lieu. Dans le premier cas, on ne peut faire le même raisonnement. C'est donc seulement dans le second cas que notre proposition se trouve immédiatement établie, et, sous ce point de vue, le premier exigerait une discussion que la méthode suivante évite, car il n'y figure plus de considérations de continuité.

Lorsque I = o, nous avons trouvé précédemment les relations

(1) AB'^-3G2 =i6A J|, B'G=:4J|, A — 2AG -{- A2B' = 32J|

Hosted by

FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. SSy

et aussi une équation ne contenant que C, et que nous présenterons sous cette forme

(2) (3G2-f-4JfA)(G2-4AJ|):= — i28J|G.

Cela posé, il s'agit d'en déduire les valeurs des quantités qui déterminent par leurs signes la nature des racines de l'équation

Or ces quantités sont 25 C- — 5 AB^, en premier lieu, puis les rapports X' X' ^^^^ ^^ ^^^^ place il sera préférable de prendre les

suivantes