G2 AB', AG, AB
ou même celles-ci
5G2 AB', 2!±^ie et B'G,
Ad
ce qui est permis comme on le verra bien facilement. Mais, par l'équation (i), on trouvera
5 G2 AB' = 8 ( G2 — 2 A J f ) et
5C2 AB' G-2 — 2AJf AB' ~^ [6AJI-3G2'
ce qui nous conduit à déterminer la nature des racines de notre équation par ces deux fonctions très simples
r, .T5 G2— 'JtAjf
car il est inutile de considérer la troisième B^C, qui conserve absolument la même valeur pour J2 =7 , J2 =y^-
Or, en élevant au carré les deux membres de l'équation (2), on introduira partout le carré G^, et une élimination facile alors donnera
(3) (3w^- I0Aj|)2(i^2AJf)2 =^ I282jl6(i^-1 2AJ|),
Chacune de ces équations aura, comme l'équation en C, deux racines imaginaires et deux racines réelles qui correspondent respectivement à J2 =y, Jo =j' ', donc, pour l'une et pour l'autre, 11. - I. 22
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les racines réelles seront de mêmes signes ou de signes contraires, suivant que le dernier terme sera positif ou négatif. Or le dernier terme de (3) est
(|)^AJ|0(25A3 tinj3),
après avoir réduit à l'unité le coefficient de ^/% et, après avoir réduit à l'unité le coefficient de p% le dernier terme de (4) devient
I22[25A3 — 3.2IOJ3]'
et que A soit positif ou négatif, il est aisé de voir que ces quantités sont positives. En effet, pour A >> o, elles le sont évidemment si J3 est négatif; mais, si J3 est positif, la condition
qui est l'iijpo thèse, entraîne
25 A^ — 2IU3 > o,
et notre proposition est vérifiée. Enfin, pourA<^o, elle est évidente si J3 est positif; mais, si J3 est négatif, l'hypothèse, qui est alors
25A3 — 3.210J3 <o, entraîne
20 A'^ — 2IU3 < o.
Donc, aux deux limites j ety'^, les trois quantités qui déterminent la nature des racines de la forme-type ont individuellement les mêmes signes, et ces racines présentent dans ces deux cas un même nombre de quantités réelles et imaginaires.
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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. SSg
Ce que deviennent successivement les racines de la forme-type lorsque J2 varie de — co à -{- 00.
Nous distinguerons quatre cas principaux dans cette recherche, que nous traiterons dans l'ordre suivant :
Premier cas
A >o, i2jA3 — 3.210J3 >o.
Deuxième cas
A <0, 9.5 A3 — 3.!2lOJ3 > o.
Troisième cas
A >o, 25A-^ — 3.2ioj3<o.
Quatrième cas
Premier cas (^). — Les valeurs admises de J2 forment alors deux séries, l'une de — 00 kj\ la seconde àe j' à + 00 (en nommanty la plus petite des quantités/ ety^), et la condition
25 A3 3.2ioJ3 > o
signifie, comme il a été dit plus haut, que le discriminant s'évanouira nécessairement pour une valeur de J2 comprise dans l'une des séries indiquées; nous admettrons, pour fixer les idées, que ce soit dans la première.
Gela posé, faisons croître J2 par degrés insensibles à partir de — 00; tant que le discriminant D = A^ -h 2^ J2 ne viendra pas à s'annuler, les cinq racines resteront des fonctions continues, et aucun changement ne surviendra dans leur nature. Mais, pour J2 == — 2~'^A2, deux d'entre elles et deux seulement deviendront égales; de sorte que, dans le voisinage de cette valeur, elles pourront passer du réel à l'imaginaire ou de l'imaginaire au réel, en devenant discontinues, tandis que les trois autres resteront au contraire des fonctions continues de J».
(^) Dans la discussion de ce premier cas, M. Hermite s'appuie sur le fait exact, mais dont il n'indique pas la démonstration, que — 2~^ A^ est dans l'intervalle — ao,y, quand J3 est positif, et dans Tintervalle y', -h ao quand J3 est négatif.
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En raison de cette circonstance, essayons d'en déterminer la nature. Pour cela, nous nous placerons précisément dans ce cas particulier où D = o. Divisant la forme-tjpe par le facteur linéaire qu'elle contient alors au carré, nous obtiendrons une forme cubique, dont il faudra calculer le discriminant. Mais, dans ce but, nous pouvons remplacer la forme-type <E> par la transformée canonique F, puisqu'elle s'en déduit en faisant une substitution au déterminant réel 2 J3. Alors un calcul très facile, qui a été exécuté à la Sect. V (^in finern)^ conduit, abstraction faite d'un facteur positif, à la fonction déjà considérée plus haut
Il a été remarqué qu'elle était positive dans ce premier cas, où nous nous trouvons maintenant, où l'on a les conditions
Ainsi, de ces trois racines fonctions continues de J2 entre les limites J2 = — c>o, Jo =y, une seule est réelle et les deux autres sont imaginaires. Cela posé, il s'agirait de reconnaître, pour des valeurs de J2 infiniment voisines de — 2~'A2, la nature des deux autres racines qui sont égales pour
Cette question rentre dans les principes connus, mais nous pouvons l'éviter en rappelant le premier lemme où il a été établi que la seule condition D <C o assurait l'existence de deux racines imaginaires et de trois racines réelles. Puisqu'il y a dans l'équation deux racines imaginaires quel que soit J2, il faudra que les deux racines qui deviennent égales quand le discriminant s'évanouit soient réelles, tant qu'il est négatif, et passent à l'imaginaire lorsque, après s'être annulé, le discriminant devient positif. Maintenant, Jo continuant à croître, la forme-type offrira toujours quatre racines imaginaires et une racine réelle jusqu'à ce qu'on parvienne à la limite Jo =7, à partir de laquelle on entre dans l'intervalle des valeurs exclues du paramètre. Alors les coefficients qui contiennent
(^) J'ai pris, suivant l'usage, le discriminant d'une forme cubique de signe contraire au produit des carrés des différences des racines de cette forme.
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en facteur le radical carré deviennent, dans tout cet intervalle, imaginaires; cependant nous allons encore suivre les racines en les faisant dépendre d'une équation à coefficients réels. Pour cela, faisant dans la proposée
(A, B, G, G', B', A.'){x, \y = o, y = xsj~^,
nous aurons dans l'intervalle compris entre y el j' la transformée à coefficients réels
Dans cet intervalle et les limites comprises, les cinq racines jk seront fonctions continues de J2 ; ainsi leur nature dépend de leurs valeurs initiales, par exemple pour Jo =./ • Mais il est bien à remarquer qu'alors les quatre racines qui sont imaginaires peuvent avoir leurs parties réelles nulles; deux cas différents peuvent donc se présenter : les valeurs initiales des racines y seront toutes réelles, ou bien quatre d'entre elles seront imaginaires et une seule réelle. C'est une question curieuse et délicate de reconnaître si les deux cas sont possibles, ou lequel peut seulement avoir lieu. Pour le résoudre, je remarquerai que l'équation en y^ pour Jo =y par exemple, est de cette forme
(A, G, — G, G, B', O) (JK, i)^ = o,
et que la quantité -^ est nécessairement positive. En effet, si ell
était négative, on voit bien aisément que cette équation aurait nécessairement deux racines imaginaires et trois racines réelles. Et la même chose a lieu pour Jo=y^, d'où il suit que le signe commun aux deux racines réelles de l'équation en
G^ — 2AJ| I 5 G2--AB'
ï6AJ| — 3G2 8 AB'
sera celui de la quantité 5G^ — AB^ aux deux limites. Or l'équation en V a ses deux racines positives, car son premier membre^ comme nous l'avons vu, est positif pour ç; = o, et J3 étant positif, par la substitution, on le trouvera négatif au contraire pour (^ = ^; donc, nous avons une racine comprise entre zéro et |, et
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l'autre racine, qui est nécessairement de même signe, sera donc aussi positive. L'équation
a donc, par rapport à y-, ses deux racines réelles, et, comme AB^ est positif et que B'C = 4J3 est aussi positif, ces deux valeurs de jaseront positives. Ainsi, l'équation en y, pour J2 =7 et Jo =7^ a ses racines toutes réelles, et le premier des deux cas dont nous avions admis la possibilité a seul lieu.
Au delà de la limite J2=j'^ l^s coefficients de l'équation en x redeviennent réels, et dans cette seconde série des valeurs admises du paramètre, jusqu'à J^ = + co, les cinq racines restent indéfiniment des fonctions continues, et offrent toujours une quantité réelle et quatre quantités imaginaires dont les valeurs initiales sont les produits du facteur y/ — 1 par des quantités réelles.
Enfin, considérons le cas où le discriminant s'évanouit entre les limites J2 = + 00, Jo=y^, et faisons alors décroître le paramètre variable de + 00 à — œ. Tout à fait comme précédemment, nous trouverons, dans l'intervalle compris entre les limites + go et y', trois racines qui seront fonctions continues de J^. Deux d'entre elles seront imaginaires et la troisième réelle, à cause de la condition 25 A'"^ — ?^^^ J3 > o. Quant aux deux autres, qui deviennent égales quand le discriminant s'évanouit, elles seront imaginaires tant que le discriminant D restera positif, et passeront à J'état réel en devenant irrégulières lorsque D, après s'être annulé, deviendra négatif. Nous parvenons ainsi à la limite Jo =y^, avec deux racines imaginaires et trois racines réelles. Pour suivre ultérieurement les racines, dans l'intervalle des valeurs exclues, de Jo — y^ à Jo =j\ nous ferons encore y = x ^ — i , et la transformée à coefficients réels aura dans toute cette étendue ses racines fonctions continues de Jo. Quanta leur nature, elle résulte cette fois sans ambiguïté des valeurs initiales, qui offrent trois quantités réelles et deux quantités imaginaires produits du facteur y/ — i multiplié par des quantités réelles. Nous savons que dans ce cas J3 est nécessairement négatif.
Enfin, lorsque le paramètre décroît de la limite y à — go, nous retrouvons pour les cinq racines des fonctions continues, parmi lesquelles deux sont imaginaires et les trois autres réelles.
FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. SijS
Deuxième cas. — Les valeurs admises de J2 forment une seule série dey ày^, et la condition
signifie que le discriminant s'évanouit dans cet intervalle. Faisant donc croître J2 par degrés insensibles à partir de la limite y, tant qu'on n'atteindra pas la valeur — 2""^ A^^ pour laquelle D s'annule, les cinq racines demeureront des fonctions continues, et aucun changement ne surviendra dans leur nature. Mais, pour D=o, deux d'entre elles présenteront alors une irrégularité en devenant égales, tandis que les trois autres resteront des fonctions continues jusqu'à la limite y^ En raisonnant comme dans le cas précédent, on verra que la nature de ces trois racines dépend encore de l'expression 26 A^ — 2^^1.3, qui maintenant peut être positive ou négative. Supposons-la d'abord positive; c'est admettre dans l'intervalle compris entre y et y' l'existence de deux racines imaginaires et d'une racine réelle. Donc, tant que le discriminant, avant de s'évanouir, restera négatif, les deux autres racines de l'équation seront réelles et, lorsque D deviendra positif après s'être annulé, elles passeront, en devenant discontinues, à l'état imaginaire. Ainsi donc, dans ce cas, deux racines imaginaires et trois racines réelles à l'origine J2=y, et quatre racines imaginaires avec une racine réelle à la limite supérieure 3.2= j'- Maintenant, si nous faisons encorey = x \/ — i , pour arriver à une transformée à coefficients réels entre les limites J2 =y , J2 = — 00, d'une part, J2=y^ J2 = + 00, de l'autre, il est clair que dans ces deux intervalles les racines y ne présenteront plus aucune discontinuité et demeureront respectivement ce qu'elles sont aux deux origines. Or, pour J2 =:y nous savons avoir, sur les cinq racines ^, trois quantités réelles et deux imaginaires; donc, il en sera de même pour les racines jK- Et, puisqu'il en est ainsi, l'expression 5 G- — AB^ est positive; alors, nous en conclurons qu'elle sera négative pour J2 =y^ car le dernier terme de l'équation en u étant
iïï
à cause de A<^o, les deux racines u sont de signes contraires. Donc,
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les racines^ présentant quatre quantités imaginaires pour J2=j^, il en sera de même des racines jk- Supposons en second lieu
25A3— '2iiJ3<o;
c'est admettre trois racines réelles comme fonctions continues de y ày^ Alors les deux autres racines, qui sont égales quand D s'annule, seront imaginaires pour D << o, et deviendront réelles quand D passera à l'état positif. Ainsi, comme tout à l'heure, deux racines imaginaires et trois racines réelles à l'origine J2 =j\ mais cinq racines réelles à la limite J2 =/- Pour ce qui concerne les quantités y = X \/ — I, de J2 =y à J2 = — 00, elles seront fonctions continues, et, dans tout cet intervalle, présenteront, comme à l'origine, deux quantités imaginaires et trois réelles. De J2 '=f à J2 = + oc, elles seront encore continues, mais une seule sera réelle, les quatre autres imaginaires, et ayant pour valeurs initiales les produits du facteur \/ — i multiplié par des quantités réelles.
Troisième cas, — Les deux derniers cas peuvent se ramener parla considération suivante aux deux premiers.
Concevons que dans la forme-tjpe on change A et J3 en — A et — J3, en conservant J2 avec son signe, on vérifiera que les coefficients A, B, G, C, B', A^ deviendront respectivement
-A, B/^ c, — cy^^, -B', aV— "ï;
donc, en mettant à la place de ^, x \/ — i , et multipliant encore la transformée par y/' — i , on trouvera exactement le même résultat qu'en changeant les signes des invariants A et J3. Or les conditions caractéristiques des deux derniers cas, savoir
A>o, 25A3— 3.2ioJ3<o et A < o, sSA»— S.^io J3< o,
reproduisent, parle changement de signe de A et J3, celles des deux premiers. Ainsi, du second nous allons déduire le troisième, et du premier le quatrième, avec ce seul changement que tout ce qui a été dit des quantités ^ et y devra être transporté aux quantités j^ et x^ X étant toujours l'inconnue de l'équation proposée, et y
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désignant .^ y/ — i. Cela donne les conclusions suivantes, en commençant par le troisième cas. Alors les valeurs admises du paramètre forment les deux séries de — oc à y et dey' à -h go.
Dans la première des cinq racines x^ deux sont imaginaires et trois réelles; dans la seconde, quatre sont imaginaires, une seule est réelle, et, d'ailleurs, dans les deux séries elles restent toutes fonctions continues du paramètre. Pour les racines j', c'est dans l'intervalle compris de y à f qu'elles dépendent d'une équation à coefficients réels, et deux cas sont à distinguer suivant que 25 A^ — 2* ^ J3 est négatif ou positif. Dans le premier, sur les trois racines qui sont fonctions continues de y à y^, une est réelle, et deux sont imaginaires. Quant aux deux autres racines qui deviennent discontinues pour D = o, elles sont réelles si D est négatif, et imaginaires lorsque D est positif. Enfin, si 25 A^ — a'^Jg est positif, les trois racines qui sont fonctions continues sont réelles, et les deux autres sont imaginaires pour D << o et réelles pour D >o.
Quatrième cas, — Résumé, — En nous bornant pour abréger aux racines x^ on voit qu'elles seront toutes fonctions continues du paramètre dans l'intervalle des valeurs admises qui s'étend dey kf. Maintenant, et d'après ce qui a été dit du premier cas, toutes ces racines seront réelles si J3 est négatif, deux seront imaginaires et les trois autres réelles si J3 est positif. Ici on ne voit plus figurer le discriminant; cependant il est bien facile de vérifier encore que pour J3 négatif il a une valeur positive et pour J3 positif une valeur négative. Effectivement, cette condition 33 < o signifie, d'après ce que nous avons vu dans le premier cas, que le discriminant s'évanouit entre les limites J2 = — go, J^ =^ j ] or, pour des valeurs croissantes du paramètre, il passe, en s'évanouissant, du négatif au positif, et arrive à l'état positif dans l'intervalle des valeurs admises. Au contraire, si J3 est positif, il s'évanouit entre les limites J2 =y^ J2 = -f-oo, et a conséquemment une valeur négative dans l'intervalle compris entrey ety'. Dans le troisième cas, le discriminant ne se trouve pas non plus immédiatement en évidence; mais, comme il s'évanouit alors dans l'intervalle compris de y à y ^, il est clair qu'il est négatif de Jo = — 00 à J2=y, et positif de i^^^j' à J2 = -f- oc.
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Ces remarques faites, nous pouvons maintenant rapprocher les divers résultats que nous venons d'obtenir; nous formerons ainsi le tableau suivant, qui offre l'expression par les invariants fondamentaux du nombre des racines réelles et imaginaires de l'équation générale du cinquième degré :
A2 -f-27j2 <o. . ., trois racines réelles, deux racines imaginaires;
A <o, '25A3 - 3.'2ioJ3 <o, cinq racines réelles;
A<o, 25A3 — 3.9.10J3 >o, 25A3 — 2IIJ3 <o, cinq racines réelles;
A>o, ..., une racine réelle, quatre imaginaires;
A <o, ^5 A3 — 3.2^0 J3 ^o, 25 A^— -i^^J^ > o, une racine réelle, quatre imaginaires.
On comprend facilement comment dans certains cas le nombre des conditions a pu se réduire. Par exemple, avec A- -f- 2"^ J2 >> o et A >> o, on trouve une racine réelle et quatre racines imaginaires lorsque ^SA-^ — S.s^^Jg est positif, et aussi lorsqu'il est négatif; on peut donc ne conserver que les deux premières conditions. Enfin, nous remarquerons, dans l'un des cas où il j a cinq racines réelles, que les conditions
A<o, J3>o entraînent la suivante
qu'on pourra supprimer si l'on veut. La simplicité de ces résultats ne semble-t-elle pas indiquer que le théorème de M. Sturm, si beau dans sa généralité, est loin de fournir l'expression définitive des conditions de réalité des racines des équations algébriques?
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FONCTIONS HOMOGENES A DEUX INDETERMINEES.
