SECTION VIL

Sur la réduite du sixième degré de l'équation générale du cinquième degré.

Lagrange a fait voir que la résolution par radicaux de Féquation du cinquième degré dépend, lorsqu'elle est possible, de la détermination d'une racine commensurable, d'une équation du sixième degré dont les coefficients dépendent rationnellement de ceux de la proposée. Mais jamais le calcul de cette réduite du sixième degré n'a été effective en général. La raison en est que les fonctions de cinq lettres les plus simples qui n'ont que six valeurs étant au moins du second degré par rapport à l'une de ces lettres, les coefficients de la réduite se présenteraient comme des fonctions des cinq coefficients de l'équation proposée montant jusqu'au douzième degré, et contiendraient par suite plusieurs centaines de termes. Or on va voir qu'on peut vaincre cette difficulté à l'aide des résultats que nous avons obtenus sur les invariants des formes du cinquième degré. Faisons, en effet,

/=(a, h, c, c\ h\ a')(x,yy

= a{x — ay)(x— Pjr) (^' — 77) (x — oj) (x — sjk),

et considérons la fonction suivante des racines

J == a^a - P)M P - ï)^ (T - 0)^3 - B)'2 (s - ay

+ ^4(a Y)2(p 8)2(Y£y2(8 a)Hs-P)%

on reconnaîtra bien facilement qu'elle est susceptible seulement de six valeurs, et, en second lieu, qu'elle est un invariant de la forme f. Il en résulte que les coefficients de l'équation du sixième degré en t seront des fonctions rationnelles et entières de ces invariants fondamentaux. A, J2, J3, car l'invariant du dix-huitième ordre n'y entrera pas, les degrés par rapport aux coefficients de / étant multiples de 4-

Ainsi, qu'on représente cette équation en t par

(i), (2), etc. seront respectivement des fonctions linéaires des

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quantités placées en regard dans le tableau suivant :

AJ3

Ji

AJl