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AJ2J3

On voit donc qu'on est ainsi amené à un calcul relativement très facile, et que je me réserve de développer dans une autre occasion. J'exposerai alors les propriétés de cette équation en t^ qui sont analogues à celles de l'équation modulaire pour la transformation du cinquième ordre, sous ce point de vue que les fonctions non symétriques des racines qui s'expriment rationnellement par les coefficients varient ou ne changent pas dans les deux cas par les mêmes permutations de ces racines. Cette équation en t est également intéressante en ce qu'elle offre le type d'une classe d'équations du sixième degré réductibles au cinquième. La propriété distinctive et caractéristique de cette classe d'équations consiste en ce que l'une des valeurs de ces fonctions des racines qui, sans être symétriques par rapport à cinq d'entre elles, n'ont cependant que six déterminations possibles, est alors nécessairement rationnelle.

Je ne terminerai pas ces recherches sur les formes du cinquième degré, sans rappeler que mon ami M. Sylvester avait obtenu avant moi, dans son beau Mémoire sur le calcul des formes, la notion des invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre. En donnant aux formes du cinquième degré cette expression élégante

sous la condition

M. Sylvester a trouvé pour ces invariants les valeurs

qui sont des fonctions symétriques très simples des trois éléments a, 6, c.

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Enfin, l'invariant du dix-huitième ordre, qui joue un rôle si important dans ma théorie, s'est aussi présenté dans ses recherches, élevé au carré et indiquant, lorsqu'il s'évanouit, l'impossibilité de la réduction à la forme citée

Exprimé en a. 6, c, il a pour valeur

expression encore bien simple, et qui montre sous des points de vue très différents comment on est conduit aux mêmes notions analytiques dans cette vaste et féconde théorie des formes.

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SUR LA THÉORIE

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