A M. DE BEAUNE

Lettre 71 du tome III.

Du ao février 163^^

Monsieur,

J'ai été extrêmement aise de voir vos notes sur ma Géométrie , et je puis dire avec vérité que je n'y ai pas trouvé un seul mot qui ne soit entièrement selon mon sens ; en sorte que j'ai admiré que vous ayez pu reconnoître des choses que je n'y ai

(i) Fermât.

102 LCTTAES^

mises qu'obscurément ^ comme en ce qùt regarde la généralité de la méthode, et la construction de» lieux plans et solides, etc. Et partout je prends garde que vous acvez plutôt eu dessein d'excuser nies fautes que de les découvrir ; de quoi j'ai véritablement sujet de vous remercier, à cause que c'est un grand témoignage de votre bienveillance : .mais je ne vous aurois pas moins remercié si vous les aviez remarquées , à cause de l'utilité que j'en au* rois pu retirer. Et afin que vous sachiez que je ne me flatte pas tant que je n'y reconnoisse beaucoup de manquements, je vous en dirai ici quelques uns. Premièrement, au lieu de m'étre employé, depuis la page 324 jusques à 334, ^ construire la question de Pappus et de n'avoir parlé des lieux après cela qu'en forme de corollaire , j'eusse mieux fait d'expliquer par ordre tous les lieux , et de dire ensuite que par ce moyen la question de Pappus étoit construite.

De plus j'ai omis le cas où il n'y a point d'yy, mais seulement x y, avec quelques autres termes, ce qui donne toujours lieu à l'hyperbole, dont la ligne que j'ai nommée AB est asymptote ou parallèle à l'asymptote. Et en l'équation de la page 3^5, dont je fais un modèle pour toutes les autres, il n'y a aucun terme qui soit composé de quantités connues, ce qui est bon pour la question de Pappus , à cause qu'il ne s'y en trouve jamais par la fa-

çon que je )'ai réduite; mais il y en &Iloit mettre un 9 pour ne rien omettre touchant les lieux. Et les deux constructions que j'ai données pour Thyp^rbole , p. 3 3o et 33 i , se pouvoient expKquer par une seule. Je n'ai point dotiné l'analyse de ces lieux, mais seulement leur construction , comme j'ai fait aussi de la plupart deâ tègles du troisième livre ; et au contraire , pour les tangentes je n'ai donné qu'un simple exemple d^ l'analyse ^ pris même d'un biais assez difficile , et j'y ai omis beaucoup de choses qui pouvoient y être ajoutées pour la facilité de la pratique. Toutefois je puis assurer que je n'ai rien omis de tout cela qu'à dessein , excepté le cas de l'asymptote, que j'ai oublié; mais j'avais prévu que certaines gens qui se vantent de savoir tout n'eussent pas manqué de dire que je n'avois rien écrit qu'ils n'aient su auparavant, si je me fusse rendu assez intelligible poui* eux^ et je n'aurois pas eu le plaisir, que j'ai eu depuis, de voir l'impertinence de leurs objections , outre que ce que j'ai omis ne nuit à personne. Car pour les autres , il leur sera plus profitable de tâcher à l'inventer d'eux-mêmes que de le trouver dans un livre; et pour moi , je ne crains pas que ceux qui s'y entendent m'imputent aucune de ces omissions à ignorance , car j'ai par^ tout eu soin de metti*e le plus difficile et^ laisser seulement le plus aisé.

Quand on a a;* y, ou x* y* dans une équation , le

I04 LSTTRES.

lieu est d'une ligne du second genre , et jat mis en la p. 3 1 9 que, lorsque l'équation ne monte que jusques au rectangle des deux quantités indéterminées , c'est-à-dire lorsqu'il n'y a que xy, le lieu est solide ; mais que, lorsqu'elle monte à la troisième ou quatrième dimension des deux , où de l'une , c'està-dire lorsqu'il y a arary, ou bien a?', etc. , le Heu est plus que solide.

Je vous remercie de la proportion des réfractions que vous m'avez envoyée : je ne doute point qu'elle ne soit très exacte , et je fais si peu d'état de celui qui dit avoir fait des expériences qui montrent le contraire, que j'ai seulement honte de notre siècle, de ce que telles gens en trouvent d'autres qui daignent les écouter; mais je ne crois pas qu'il y ait personne que les raisons dont vous le réfutez ne persuadent. Je n^ai rien à dire touchant ce que vous trouvez bon de changer en la machine pour les lunettes , car c'est chose dont vous pouvez mieux juger que moi ; mais pour ce qui est de commencer par les lunettes à puce, je crains qu'elles ne fassent pas voir si clairement l'utilité de la figure hyperbolique comme les lunettes de longue vue; car vous savez que pour les verres qu'on met proche de l'œil , il n'importe pas tant que leur figure soit exacte : c'est pourquoi je me persuade que vous recevrez plus de contenten^ent de votre travail si vous commencez par une machine qui puisse avoir

au moins un pied ou un pied et demi de hauteur entre les lignes AB et RQ ( pag. 1 45 de la Diop. ), et que vous vous en serviez à tailler des verres qui aient quatre ou cinq pouces de diamètre pour des lunettes de deux ou trois pieds de longueur; car y ajoutant seulement des verres fort concaves taillés au hasard, je ne doute point que vous ne les rendiez beaucoup meilleures que les ordinaires , qui ne peuvent avoir des verres si grands, encore qu'elles soient beaucoup plus longues ; et vous pouvez faire aisément que cette même machine serve pour diverses hauteurs. Si ce qu'on a dit au révérend père Mersenne de la lunette apportée de Naples est vrai , à savoir que le verre convexe en est extraordinairement grand , et que, bien qu'il soit plus mal poli que les ordinaires , il ne laisse pas d'avoir plus d'effet, je juge qu'il doit avoir la figure de l'hyperbole : mais j'apprends qu'on commence à en diminuer le bruit.

Pour vos lignes courbes , la propriété dont vous m'envoyez la démonstration me paroît si belle, que je la préfère à la quadrature de la parabole trouvée par Archimède; car il examinoit une ligne donnée, au lieu que vous déterminez l'espace contenu dans une qui n'est pas encore donnée. Je ne crois pas qu'il soit possible de trouver généralement la converse de ma règle pour les tangentes , ni de celles dont se sert M. de Fermât non plus , bien que la prati-

ia6 LETTRES.

que en soit en plusieurs cas plus aisée que delà mien* ne ; mais on en peut déduire à posteriori des théorèmes qui s'étendent^à toutes les lignes courbes qui s'expriment par une équation en laquelle l'une des quantités x ou y n'ait point plus de deux dimensions , encore que l'autre en eût mille : et je les ai trouvés presque tous en cherchant ci-devant votre deuxième ligne court»e ; mais^ pourceque je ne les écrivois que dans des brouillons que je n'ai pas gar* dés, je ne vous les puis envoyer. Il y a bien une autre façon qui est {5lus générale , et à priori , à savoir, par l'intersection de deux tangentes, laquelle se doit toujours faire entre les deux points où elles touchent la courbe, tant proches qu'on les puisse imaginer : car en considérant quelle doit être celte courbe, afin que cette intersection se fasse toujours entre ces deux points , et non au-deçà ni au-delà , on en peut trouver la construction; mais il y a tant de divers chemins à tenir , et je les ai si peu pratiqués, que je n'en saurois encore faire un bon compte : toutefois vous verrez ici en quelle façon je m'en suis servi pour vos ttois lignes courbes.

En la deuxième AYX, dont le sommet est A , au lieu de considérer l'axe AY ^ avec son ordonnée XY, j'ai considéré l'asymptote BC, vers laquelle ayant mené des ordonnées parallèles à l'axe, comme PV, RX, elc* , et des tangentes , comme AC , ZVn , GXni,etc., j'ai trouvé que la partie de l'asymptote qui

est entre l'ordonnée et la tangente d*un même point, comme Pn, ou Rm, etc. , est toujours égale à BC , ainsi que vous verrez facilement par le calcul. Or doutant que les deux lignes ZY n et GX m touchent la courbe aux points V et X , elles doivent nécessairement s'entrecouper en l'espace qui est entre ces deux points , tant proches qu'ils puissent être, comme par exemple au point D, par lequel je mène FD parallèle à PV. Et je nomme AB || b; nP

H bP- 2, PF II e; FR || cX PV || î^^et RX || ^^en. ^

tendant par m un nombre de parties égales auxqtielles je suppose que toute la ligne b est divisée, et par n un autre moindre nombre qui exprime combien la ligne PV contient de telles parties ; en sorte que si m est 16, et n est 1 3 , j'ai PV || -rf ^ et RX II TT ft, car je suppose RX moindre que PV d'une de ses parties seulement. Après cela je procède en cette sorte :

Comme NP || bF2 est à PV || ^, ainsi nF Ij

bFa—i est à FD || ^ ^; et comme mR ||

bFii est à "-^=^, ainsi bP'u + « est à FD II î^* + ~

— - -y^ ; si bien que j'aie FD en deux façons, qui

me donnent - || ""-^^J"' , ou bien bV2 \\ niù — w-j- ne : ce qui montre que PR , que j'ai nommée e -j- w est

* Figure it.

^-^^ OU bien — — ' c'est-à-dire que PR est nécessairement plus grande que -^, et plus petite que —, ou bien, afin de rejeter le nombre sourd f^a, que la ligne a^ est plus grande que -, et plus petite

que -37. Et pourceque le même se doit entendre de

toutes les ordonnées parallèles à Taxe qui ne diffèrent l'une de l'autre que d'une des parties de la ligne AB, ceci suffît pour démontrer que si on divise cette ligne AB en 8, et que PV contienne, par exemple, | fr, Aa sera plus grande que jb, -f j b^ et moindre que jb^-f j b; et que si on divise AB en 1 6 , Aa sera plus grande que -rj b , 1 7T *> t TT *^ t TT *> et moindre que T^b^f -^h, '\ T3 by\ -rr b,et ainsi des autres : de façon que, divisant AB en plus de parties , on peut appro* cher de plus en plus à l'infini de la juste longueur des lignes Aa, Ap et semblables, et par ce moyen construire mécaniquement la ligne proposée.*

De plus, à cause que RX étant \ b^ on ne sauroit imaginer en la ligne Ap aucun point au-dessus de p, comme y, qui soit si proche de p qu'il ne se démontre pas ceci, que l'intervalle yP est moindre que le double de la différence qui sera entre l'ordonnée RX et l'ordonnée qui passera par le point y; et qu'au contraire on ne sauroit imaginer aucun point au-dessous de p, comme ^, qu'il

LKTtRES. 109

ne se démontre que l'intervalle ^ est plus grand que le double de la différence qui est entre l'ordonnée RX et celle qui passe par S ; et que tout de même que PY étant y b, on ne sauroit mener aucune autre ordonnée au'-dessus d'elle, comme par le point n ^ que la ligne a n ne soit moindre que y de leur différence; ni aucune au*<lessous, comme par 6 , que 06 ne soit plus grande que ^ de leur différence, et ainsi des autres. Cela montre que , pour décrire exactement cette courbe AVX, il faut mouvoir deux lignes droites en telle sorte, que l'une étant appliquée sur la ligne AH , et l'autre sur AB , elles commencent à se mouvoir en même temps également vite, AH vers BR, et AB vers RH; et que celle qui se meut de AH vers BR retienne toujours sa même vitesse, mais que l'autre qui descend de BA , parallèle à RH , augmente la sienne en telle proportion, que si elle a un degré de vitesse en commençant, elle en ait y lorsque la première a parcouru la huitième partie de la ligne AB, et | ou {- lorsque la première a parcoiuru le quart de AB, et |, |, 7, 1 et 8 et 16 et 32 • etc. , lorsque la première arrive à f , j, f , f , et Y et -r|- et -f-J-? etc., de la ligne AB, et ainsi à l'infini ; et l'intersection de ces deux lignes droites décrira exactement la courbe AVX, qui aura les propriétés demandées. Mais je crois que ces deux mouvements sont tellement incommensura-

bles, qu'ils ne peuvent être réglés exactement Fnn par l'autre; et ainsi que cette ligne est du nombre de celles que j'ai rejetées de ma Géométrie, comme n'étant que mécanique; ce qui est cause que je ne m'étonne plus de ce que je ne l'avois pu trouver de l'autre biais que j'avois pris, car il ne s^étend qu'aux lignes géométriques.

Pour votre troisième ligne courbe , vous voyez assez qu'elle est de même nature , et se décrit de même façon que cette seconde , sans qu'il y ait au^ tre différence, sinon qu'au lieu qu'en celle-ci l'angle RAH est de i35 degrés, et HAY de 4f>5 ils doivent être tous deux droits en l'autre.

Pour la quatrième, je ne l'ai point du tout exa* minée, et je n'en pourrois avoir le loisir, si je ne différois à un autre voyage à vous écrire ; mais je m'assure que vous aimerez mieux en faire la re* cherche.

Les petites remarques que j'ai faites sur le livre de Galilée ne valent pas la peine que vous les voyiez;mais, puisqu'il vous plaît, je ne laisserai pas de prier le révérend père Mersenne de vous les envoyer. J'ai bien pris garde que Galilée ne distingue pas les diverses dimensions du mouvement;' mais cela lui est commun avec tous les autres dont j'ai vu quelques écrits de mécanique.

Pour la difficulté qu'on a de concevoir comment phisieurs diverses actions peuvent passer en

même temps par un m^e espace sans s'empêcher, comme, par exemple, toutes les couleurs d'une prairie par le trou de la prunelle de l'œil , elle vient prinâpalement de ce qu'ayant remarqué dès notre enÊince que les corps durs empêchent souvent les nouveautés les uns des autres, au lieu de prendre garde que la cause n'en doit être attribuée qu'à leur durée et à leur grosseur, nous avons jugé qu'un même corps n'étoit pas capable de recevoir tout ensemble les impressions de plusieurs divers mouvements; et toutefois il est très certain qu'il en peut recevoir un nombre innombrable, nonobstant que chacune de ses parties ne puisse pas pour cela se mouvoir en plus d'une sorte, comme on peut voir aisément plusieurs tuyaux F, GI , KL qui soient joints par le milieu, et que plusieurs homtnes soufflent en même temps, l'un d'F vers G, l'autre d'H vers I, et l'autre de K vers L , etc. : car bien que les parties de l'air contenues en l'espace de N , qui leur est commun à tous, ne se puissent mouvoir chacune que vers un côté en même temps, elles ne laissent pas de pouvoir servir à transférer toutes les actions qu'elles reçoivent ; et l'on peut dire que l'action qui vient d'F passe en ligne droite vers G, nonobstant qu'il n^ ait peut-être aucune partie de l'air qui vient d'F , laquelle étant parvenue à l'esrpace N , ne tourne de là vers I et vers L ; car , en ce faisant, elles transfèrent l'action qui les déter-

minoit vers G à d'autres parties d'air qui viennent d'H et de K, et qui tendent vers G tout de même que si elles venoîent du point F, et ainsi des autres. Au reste, afin que je ne laisse aucuns points de votre lettre sans quelque réponse , je vous dirai que si tout le monde vouloit recevoir mes pensées aussi favorablement que vous , je ne ferois aucune ' difficulté de les publier ; mais pourceque j'éprouve que la plupart, et même de ceux qui causent le plus , sont d'autre humeur , je ne le juge pas à propos. Je suis , etc.

AU R. P. MERSENNE

(Lettre 84 du tome III.) Moir RÉVIÉREND P£R£,

J'ai reçu quatre paquets de votre part depuis huit ou dix jours , sans avoir toutefois reçu' qu'une de vos lettres ; car le premier ne contenoit que les livres de M. Morin , de M. Hardy et les thèses du père Bourdin ; le second , que la perspective curieuse et le livre de M. Laleu '; le troisième, que des lettres de Bretagne. Mais

■ Paal Itou ^ siear de Lalen.

LETTRES. 1 l3

enfin le quatrième j'ai trouvé votre lettre , avec une autre de M. de Beaune ^ et une autre encore que M. de Bessy vous a écrite. Je répondrai ici par ordre aux articles de la vôtre. Ce que j'ai dit aux pages 1 76 et 1 79 , de la pesanteur et de l'origine des fontaines est fort peu de chose , au regard de ce qui s'en peut dire, et vous verrez quelque chose de la pesanteur dans ma réponse à M. de Beaun(|.

J'admire que. vous n'ayez pu faire geler de l'eaù avec du sel et de la glace ; car l'expérience en est si aisée, qu'il est presque impossible de la jual faire; et je l'ai faite plus de cent fois : iLest vrai qu'il faut une assez bonne quantité de neige ou de glace pilée, mais la neige y est meilleure , à cause qu'elle se mêle mieux avec le sel , qui doit être aussi en assez bonne quantité , environ le tiers ou le quart de la neige; et il faut ensevelir le vase où est l'eau douce dans cette mixtion, et J'y laisser jusqu'à ce qu'elle soit quasi toute fondue ; car à mesure que la neige se fond, l'eau se glace, et cela se peui: faire en toute saison; mais l'été il faut que ce spit dans une cave , afin que la chaleur de l'air ne fasse point trop tôt fondre la neige.

Ce qui empêche la lumière de pénétrer jusques au fond de la mer , ou au travers d'un verre fort épais, n'est pas l'eau ou le verre en tant que diaphanes , mais ce sopt des impuretés qui y sont mêlées , et qui ne sont point diaphanes.

ll4 LETTRES.

Si vous ne mettez pas plus de sel dans de l'èau douce qu'il s'en peut tirer depàteilte (Jtiahtîté d'eau de met* , je m'assure qu'elle ne deviendra point plus pesatite que celle de mèr. Mais toute la nier n'est pas également salée; car aux e'mboUchuré^ des rivières, aux rivages et vers les pôles, elle l'est beaucoup mdîns qu'ailleurs.

Les tangentes de deux lignes courbes de diverse espète ne peuvent avoir les mêmes- J)ropriétés spécifiques , telleîs que sont celles que vous rftarquez de la parabole et de l'ellipse; mais il y a des propriétés géométriques ' qui peuvent convenir à plusieurs, et même à plusieurs de divers genres. Comme si AD est la tangente dé la courbe ED et DC perpendiculaire sur AC et qu'il faille seulement que AE soit à EC, comme nombre à tiombre, ah peut trouver des lignes courbes d'utie ihfinité de divers genres qui auront fcette propriété. Pour celui de Vofe géomètres qui fait le fin sur te sujet, il a montré touchant les lignes de M. de beauue qu'il était du nombre de ceux qui savent le nloins ce qui en est ; car il maintenoit que les propriétés des tangentes données ne sufHsoi^it pas pôUr les détettniner; et cela même qu^l dit en avoir la démonstration, mais qu'il ne la dira qu'à bonnet enseignes, est un tétiioignage qu'il l'ignore i car c*est tihê chose si claire et si aisée pour ceux

I «t Génériques. »

LETTRKS. Il5

qui la savent , que cela ne mérite rien moins que d'être caché comme un mvstère.

Il £aiut que je rie de ce que vous m'avez déjà envoyé cinq ou six fois la &çon pour trouver la tangente de la roulette, toujours différemment et tou* jours avec &ute, ce qui ne sauroit venir de votre plume; car vous avez pri^ la peine de m'envoyer copie de plusieurs autres choses de géométrie qui étoient bien , et vous avez expressément pris garde a cette dernière , où la faute est qu'ayant tiré 61^ perpendiculaire sur l'axe CD' et £F, qui touche le cercle au point £ , il dit que si le cercle est égal à la ligne AB , EF dmt être prise égale à GI , et que GF sera la tangente cherchée, ce qui est très faux; car il £aut prendre ËF égale à G£, et lors cette coni»truction ne diffère point de la mienne , et je crois qu'il pensoit traiter avec des grues i» de voti«loir par là persuader qu'il a trouvé cette tangente. Je dis même en supposant qu'il n'y ait point de faute dans sa construction, et qu'il ait fait JEf" égale à G£ ; car il devoàt montrer outre cela le médium qui l'a conduit à cette construction , ainsi qn^je vous ai dé}à mandé il y a long-temps , et qu il fût différent de ceux qui lui ont été envoyés , oa plu-^ tôt se taire; car enfin cela même qu'il vous a donné cinq ou aU fois sa prétendue coestniction pour m'envoyer, sans que je l'aie jamais deman-

' Figure lo.

Ii6 LETTRES.

dée , me fait juger qu'il affecte de faire croire une chose qui n'est pas vraie.

Je crois que vous faites trop d'honneur au sieur N. ' de lui contredire, il faut laisser aboyer les petits chiens sans prendre la peine de leur résistçr; et je m'assure qu'il est plus fâché de ce que je n'ai pas daigné lui répondre , que si je lui avois dit tout le mal que j'eusse pu, bien qu'il m'en ait donné iine ample matière. Vous vous êtes fort bien avisé de vouloir envoyer son traité contre ma Dioptrique à M. de Beaune plutôt qu'à moi ; car je m'assure que par ce moyen il ne sera point de besoin que je le voie, et je reconnois tant de capacité et de franchise en M. de Beaune , que je suis prêt de souscrire dès à présent à tout ce qi/il en jugera.

Il est vraisemblable que l'arbalète du Padre Benedeiio est. aussi excellente que la lancette ' de Naples, car l'une et l'autre viennent d'Italie.

Vous verrez dans ma réponse à M. de Beaune pourquoi je ne crois plus que .les corps pesants augmentent également leur vitesse en descendant. A

Sa raison pourquoi il faut une force quadruple pour faire monter une corde à l'octave est très excellente, et voici comme elle s'entend. Que les cordes abc et EFG soient en tout égales, sinon

« « Petit. .»

■■* u Lanette.

que ABC soit plus. tendue que EFG, en sorte qu'elle ait un son plus aigu d'une octave, «et qu'elles soient également éloignées de leur direction, c^est-^-dire que BD* et FH soient égales, il est certain qu'il ne £aut ni plus ni moins de forces et de temps, en

comptant l'un avec l'autre, pour faire que abc revienne jùsques à D, que pour faire que EFG revienne jusques à H; c'est-à-dire que si abc a plus de force , il lui faudra mpins de temps à proportion : car toutes les autres choses étant égales, cette inégalité de la force ne peut-être récompensée que par celle du temps. Il est certain aussi que, puisque ABC fait l'octave au-dessus de EFG, elle n'emploie que la moitié d'autant de temps à passer de B à D que EFG à passer de F à H; si bien qu'il ne reste plus qu'à savoir sinon combien la force qui la m^t doit être plus grande que celle qui meut l'autre , afin que cette force et ce temps comptés ensemble fassent en toutes deux la même somme. Or, pourceque la force agit toujours également (au moins à peu près, et on ne considère point ici ce qui s'en faut), et que l'impr^sion qu'elle fait à chaque moment demeure jusques à la fin du mouvement , on peut repr^enter le temps par une ligne, comme KL ou Kn, et la force par une autre, conime NO ou LM ou NP; en sorte que l'un et l'autre ensemble soit représenté par le triangle UNO ' ou KLM ou

» Fignre i3. — ' Fignre 14..

Il8 LETTRES.

KNP; à savoir, puisque ABC n'emploie que I» moitié d'autant de temps à aller de B à D que fait EFG à aller de F à H , il représente le temps de ABC par kl prise à discrétion , et eelui de £FG par KN , qu'il fait doubla de kl j puis il représente la force de EFG par NO , prise derechef à discrétion , et celle de ABC par NP en un temps égal , et par LM en un temps de la moitié moindre; et cette IM doit être telle (suivant ce qui a été posé) que le triangle kLM soit égal au triangle kNO; mais à cet effet LM doit être double de NO , et ensuite NP doit être quadruple de NO : donc la force qui meut ABC doit aussi être quadruple de cdle qui meut £FG ; car lorsqu'elles sont considérées en elles* mêmes , et sans avoir égard à aucun temps , eilefr ont même rapport l'une à l'autre que lorsqu'elles sont considérées au regard d'un temps égal.

Je ne sa^e point avoir reçu ci«-devant aucune lettre de M. de Bessy à laquelle je n'aie fait réponse; et quant à ce qu'il mande dans celle qu'il vousa^crite, je n'ai autrechoseà dire, sinonqu'il est vrai que je me suis mépris &ute d'attention. Car, ayant trouvé d'abord tout ce qui nie sembloit con* tenir de la difficulté dans la questioil , qui étoit de donner autant d'ellipses rationnelles qu'on vôudroît qui eussent une même ligne pour plus grand dia* mètre, et ayant d'autres pensées en l'esprit, je ne me suis pas arrêté à considérer toutes les eitcep-

]:.KTTR£S. 119

tioas qu'il falloil fnire, afin que cette ligi^e ne servit point à plus grand nou)bre d'ellipses qu'à celui qui seroit demandé; et pensant prepdre un biais qui m en exemptaroit, je me spis trompé. Voici mop procédé : prenant a pour }e nombre qui ^i^priipje là ligne IK , et ^ pour œlui qui el^pri^l^ la ligna IC» j ai trouvé que DC devait êtf e nécessairement ^ et FJl. être a6 V ^^ — 1 . En suite d« quoi il m'a été aisé de voir quels nombres je devois prendre pour a et pour 6» afin que 26 f^^ — 1 fût un nombre rationnel, et que DC pût être expliqué en autant de diverses façons par -^ qu'on auroit demandé d'ellipses. Mais pourceque je voyois que prenant un nombre carré, ou double d'un carré pour DC ou-2-|^, ^-~ — 1 pouvoit être une fi*action, et que néanmoins FL ou 26 f^ ^ — 1 seroit un nombre entier, j'ai pensé que multipliant DC par 5^ ou par quelque autre tel nombre qui empêchât qu'il ne fût carré ou double de carré , j'exclurois toutes les ellipses qui peuvent naître de ces fractions; et c'est en quoi j'ai failli : car, comme M. de Bessy remarque fort bien, cette multiplication est superflue, à cause que toutes les autres lignes sont aussi multipliées par 3; mais c'est jm^ faute si grossière, que je m'assure qu'il ne la prendra que pour ime bévue , qui montre que j'ai eu l'esprit diverti ailleurs. Et afin qu'il ait d'autant plus de raison de m'excuser, je vous dirai qu'il me semble n'avoir

pas pris garde à tout non plus que moi : car, pre«* mièrement., il dit que si DC' est un carré impair, il ne pourra servir à aucune ellipse dont les lignes requises s'expriment par des nombres entiers ; secondement y qu^il n'y a aucun nombre qui puisse servit* de grand diamètre à une ellipse, qui ait les lignes telles qu'on demande , qui ne serve aussi à deux telles ellipses, l'une desquelles aura son petit diamètre plus grand que la distance des points brûlants, et l'autre l'aura plus petit; troisièmement , que c'est pour cela quMl a ^demandé que l'ellipse eût une de ces conditions ; quatrièmement , que je n'ai point dû pour cela exclure le nombre de 5. Or, premièrement, si, par exemple, DC est 25, IK sera 2, IC 5, et FL 20. Item > si DC est 289, IK sera 2, IC 17, et FL i36, et ainsi des autres où il ne se trouve que des nombres entiers; secondement, et ni 25 ni 289 ne servent que chacun aune ellipse ; mais 25 sert à une qui a son plus petit diamètre plus grand que la distance de ses points brûlants, et 289 sert à une qui l'a moindre ; troisièmement, si bien qu'il n'étoit pas besoin pour ce sujet d'exclure l'une de ces conditions; quatrièmement , et moi j'ai dû exckL|;e le nombre 5 pour résoudre la questitm aux termes qu'elle étoit proposée ; et il me semble que la meilleure solution est de faire

que DC soit un noiribre carré impair, dont la ra-

^ Figure i5«

cine ou ses parties se puisse diviser en deux carrés, autant de fois qu'on demande d'ellipses. Ainsi DC étant le carré de 629, il servira à quatre ellipses, et non plus, à cause que 62g ne se divise qu'en 4 et 6^5; item en 100 et 629; item 37 se divise en 1 et 36; et 17 se divise en 1 et 16, qui font quatre" ellipses , et non plus. £t il est aisé à déterminer la plus grande et la moindre proportion entre lesquelles doit être celle de ces carrés, afin que £1 soit plus grande que FL , et que néanmoins Taire de l'ellipse soit plus grande que celle du cercle qui aura £1 pour diamètre. Mais je ne vois pas qu'il soit aisé de donner une règle pour trouver un nombre qui se divise ainsi , lui ou ses parties , en autant de carrés qu'on voudra, et non plus , si ce n'est qu'après en avoir trouvé autant qu'il faut, on en ôte ceux qui s'y trouveront de plus en tâtonnant : il m'enseignera, s'il lui plaît, si je me trompe; et cependant je demeure son très humble serviteur.

Je reviens aux livres que vous m'avez envoyés , desquels je vous remercie , et vous prie de remercier de ma part ceux, qui vous les ont donnés pour moi. Je n'ai encore eu aucun temps pour les lire, ce qui est cause que je ne vous en puis rien dire à cette fois. Je suis, etc.

A MONSIEUR *** '

(Lettre a 5 du tome II.)

Monsieur,

Je croi^ le temps que j'ai mis à coDsidérer vos lignes courbes très bien employé, non seulement à cause que j'y ai beaucoup appris, mais particulièrement aussi à cause que vqus témoignez en avoir quelque satisfaction. Je vous remercie de votre exacte mesure deç réfractions, la précédente en étoit si peu éloignée , qu'il n'y a personne que vous qui eût pu y trouver à redire, four l'écrit du sieur N. • que vous îjvez vu , j'en ai fait tant d'estime , qu'il se peut vanter d'être le seul de tous ceux qui m'ont envoyé quelque chose auquel je n'ai point fait de réponse. Car en effet je croiroi§ avoir mauvaise grâce de m'arrêter à poursuivre un petit chien, qui ne fait qu'aboyer contre moi , et n'a pas la force de mordre. Je craindrois que votre indis-

• « Cette lettre est très certainement adressée k M. de Bcf one ptr » M. Descartes , en même temps qne la 84* da 3* vol. an P. Mersenne. H » n'y a qn'à les comparer ensemble pour s'en convaincre; elles sont tontes » deux écrites le 3o avril 1639. »

* « Je crois que c'est Petit. »

LETTRES. Iâ5

potiifion ne vous détouruâl: du travail des lunettes si elle étoit autre que la goutte ; mais ce mal me semble oe pouvoir être mieux surmonté que par exercice.

Je voudroîs être capable de répondre à ce que vous désirez touchant vos mécaniques; mais encore que toute ma physique ne soit autre chose que méca* nique, toutefois je n'ai jamais examiné particulièrement les questions qui dépendent des mesures de la vitesse. Votre façon de distinguer diverses dimensions dans les mouvements , et de les représenter par des lignes, est sans doute la meilleure qui puisse être ; et on peut attribuer autant de diverses di-* mensions à chaque chose qu'on y trouve de diverses quantités à mesurer. Votre distinction des trois lignes de direction qui sont parallèles , ou qui tendent à un centre ou à plusieurs , est fort méthodique et utile, ^invention de vos lignes courbes est très belle; et la raison que vous donnez pour la tension quadruple d'une corde qui fait l'octave est très ingénieuse et très vraie. Il ne me reste plus à vous dire que ce qui me donne de la difficulté touchant la vitesse, et ensemble ce que je juge de la nature de la pesanteur , et de ce que vous nommez inertie naturelle.

Premièr^nent , je tiens qu'il y a une certaine quantité de mouvement en toute la matière créée qui n'augmente ni ne diminue jamais ; et ainsi que

lorsqu'un corps en fait mouvoir un autre, il perd autant de son mouvement qu'il lui en donne ; comme lorsqu'une pierre tombe d'un lieu haut contre terre ^ si elle ne retourne point , et qu'elle s'arrête, je conçois que cela vient de ce qu'elle ébranle cette terre , et ainsi lui transfère son mouvement ; mais si ce qu'elle meut de terre contient mille fois plus de matière qu'elle, en lui transférant tout son mouvement, elle ne lui ddîine que la millième partie de sa vitesse. Et pourceque si deux corps inégaux reçoivent autant de mouvement l'un que l'autre , cette pareille quantité de mouvement ne donne pas tant de vitesse au plus grand qu'au plus petit, on peut dire en ce sens , que plus un corps contient de matière, plus il a d'inertie naturelle; à quoi on peut ajouter qu'un corps qui est grand peut mieux transférer son mouvement aux autres corps qu'un petit , et qu'il peut moins être mû par eux ; de façon qu'il y a une sorte d'inertie qui dépend de la quantité de la matière, et une autre qui dépend de l'étendue de ses superficies.

Pour la pesanteur, je n'imagine autre chose, sinon que toute la matière subtile qui est depuis ici jusqu'à la lune , tournant très promptement autour de la terre , chasse vers elle tous les corps qui ne se peuvent mouvoir si vite: or elle les chasse avec plus de force lorsqu'ils n'ont point encore commencé à descendre que lorsqu'ils descendent déjà ; car en-

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fin s'il arrive qu'ils descendent aussi vite qu'elle se meut, elle ne les poussera plus du tout, et s'ils descendent plus vite, elle leur résistera. D'où vous pouvez voir qu'il y a beaucoup de choses à considérer avant qu'on puisse rien déterminer touchant la vitesse , et c'est ce qui m'en a toujours détourné : mais on peut aussi rendre raison de beaucoup de choses', par le moyen de ces principes , auxquelles on n'a pu ci-devant atteindre. Au reste , je ne vous éci*trois pas si librement de ces choses, que je n'ai point voulu dire ailleurs, à cause que la preuve en dépend de mon Monde , si je n'espérois que vous les interpréterez favorablement, et si je ne désirois passionnément vous témoigner que je suis , etc.