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termes de l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et on doit trouver autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étoient inconnues. Ou bien, s'il ne s'en trouve pas tgnt, et que nonobstant on n'omette rien de ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela, s'il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des équations qui restent aussi , soit en la considérant toute seule, soit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues, et. faire ainsi , en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule égale à quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube , etc. , soit égal à ce qui se produit par l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités, dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes proportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré , etc., multipliées par d'autres connues. Ce que j'écris en cette sorte :

ou z*= — az'+'b*,

ou z^=+aj^'+6'^ — c^,

ou z^=az^ — ij^z-|-rf^, etc.;

5l8 LA GÉOMÉTRIE.

c'est-à-dit^ z , que je prends pour la quantité inconnue, est égalé à ft ; ou le carré de ^ est égal au (iàrré de b moins a multiplié par z; où le cube de z est égal à a multiplié par le carré de z plus le carré de h multiplié par z moins le cube de c; et ainsi des autres.

Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une seule , lorsque le problème de peut construire par des cercles et des lignes droites , ou aussi par des' sections coniques , ou même par quelque autre ligne q«i ne soit <Jué d'Uii ou deux degrés plus composée. Mais je île m'arrête point à expliquer ceci plus en détail , à cause que je vous ôterois le plaisir de l'apprendre de voùsmêttie, et l'utilité de ciiltiver votre esprit eft vous y exerçant , qui est à mon avis la principale qii'oh puisse tirer de cette science. Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront uri peu versés en la géotnétrie commune et en l'algèbre , et qui prendront garde à tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.

C'est pourquoi je me contetiterai ici de vous avertir que, pourvu qu'ëii démêlant ces équations, oti tie manque point à se servir de toutes les divisions qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels la question puisse être réduite.

Qaeis sont les Et que si elle peut être résolue par la géométrie

LIVKE PHEIVIER. vHig

ordinaire, c'est-à-dire en ne se servant que de problèmes lignes droites et circulaires tracées sur une superficie plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y restera tout au plus qu'un carré inconnu , égal à ce qui se produit de l'addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité connue, et de quelque autre quantité aussi connue.

Et lors cette racine , ou ligne inconnue, se trouve Commciu a»

. , • •» . I se résolvent.

aisément; car si j ai par exemple

-^« = fl:^ -}-/>% je fais le triangle rectangle NLM(fig.3*), dont le côté LM est égal à fr, racine carrée de la quantitfl connue 6% et l'autre LN est ^ « , la moitié de l'autre quantité connue qui êtoit multipliée par Zy que je suppose être la ligne inconnue; puis prolongeant MN , la base de ce triangle , jusques à O, en sainte que NO soit égale à NL , la toute OM est j^^ la jigne cherchée; et elle s'exprime en cette sorte :

Que si j'ai y*s=i: — ay-|-^% et que y soit la quantité qu'il faut trouver , je fais le même triangle rectang^ NLM , et de sa base MN j'ôte N P égale à NL, et le reste PM est y y la racine cherchée. De faosn que j'ai

Et tout de même si j'avois

3^0 LA GiOMÉTRir.

PM seroit a?'^ et j'aurois

et ainsi des autres.

Enfin, si j'ai

z^ = az — b'', je fais NL (fig.4)égale à ~ a^ et LM égale à b, comme devant; puis, au lieu de joindre les points MN, je tire MQR parallèle à LN, et du centre N , par L, ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R , la ligne cherchée z est MQ , ou bien MR; car en ce cas elle s'exprime en deux façons, à savoir

et

z=^a—y/ia-—b\

Et si le cercle, qui ayant son centre au point N passQ par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'équation, de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est Impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci , comme fort simples , afin de faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas

LIVRK I»REStIER» v52l

que les anciens aient remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de gros livres où le seul ordre de leurs propositions nouM fait connoître qu'ils n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes , mais qu'ils ont seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

Et on le peut voir aussi fort clairement de ce Exemple tiré

* de Pappus.

que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s*être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avoît été écrit en géométrie par ceux qui l'avoient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avoient su entièrement résoudre; et voici ses mots : '

Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro loeum ad très et quatuor lineas ab Euclide perfecttint non esse , neque ipse perficere poterat ^ neque aliquis alias; sed neque paululum quid addere iiSy quœ Euclides seripsity per ea tanium eonica , quœ usquè ad * Euelidis tempora prœmonstrata sunty etc.

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :

At locus ad très et quatuor lineaèy in quo (Apollonius) magnifiée se jactat j etostentat, nùlla habita gratia ei^ qui prias stripsetàt^ est hujtismôdi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem

» Je cite plntôt la version latine que le texte grec, afin que chacun Tentende plus aisément.

punctOj ad ires tineas in datis anguUs reictœ Hneœ ducantur^ et data sit proportio rectanguU conterai duabuB ductis ad quadratum reliquœ : punctum contingit positione dalum solidum locunij hoc est unam ^ tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas tineas positione datas ir( datis angulis linem ducantur; et rectanguU duabus ductis contenti ad contentum duabus reiiquis proportio data sit: similiter punctum datant coni sectionem positione coniingeU Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quant quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tan^ tum dictas; quales autem sint, vel quam habeant propHetatem y non constat: earum unam, neque pri^ mam^ et quœ manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. Propositiones autem ipsarum hœ sunt.

Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas li-neas quinque ducantur rectœ lineœ in datis angulis^ et data sit proportio solidi parallelepipedi rectanguU , quod tribus ductis Uneis continetur ad solidum paraUelepipedum rectangulum^ quod continetur reiiquis duabus y et data quapiam Unea , punctum positione datam Uneam continget. Si autem ad sex^ et data sit proportio solidi tribus Uneis contenti ad solidum^ quod tribus reiiquis continetur; rursus punctum continget positione datam Uneam. Quod si ad plures quam sex . non adhuc habent dicerCy an data sit

LIVHE PREMIER. 32^

proportio cujuspiam conienti quatuor lineis ad id quod reliquh contineturj quoniam non est aliqnid contentum pluribus quant tribus dimensionibus.

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoient les anciens d'user des termes de rarithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport, causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expli-^ quoient; car Pappus poursuit en cette sorte :

Acquiesçant autem his^ quipaulo anie talia interprêtait sunt; neque unum aliquo pacto comprehensi^ bUe significantes quod his continetur. Licebit autem per conjunctas proportiones hœc, et dicere, et démonstrare universe in dictis proporiionibus^ atque his in hune modum. Si ab aliquo puneto ad positione datas rectas lineas ducantur rectœ lineœ in datis angutis, et data sit proportio conjuncta ex ea , quam habet una ductarum ad unam , et altéra ad alteram . et alia ad aliam^ et reliqua ad datam Uneam^ si sintseptem / si vero odo , et retiqua ad reliquam : punctum con-tinget positione datas lineas. Et similiter quotcum-^ que sint impares vel pares multiludine^ cum hœc, ut dixij loco ad quatuor lineas respondeanl^ nullum igi^ tur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.

La question donc qui avoit été commencée k résoudre par Euclide et poursuivie par Apollo* nius , sans avoir été achevée par personne , étoit

telle : Ayant trois ou quatre ou plus grand noniJbre de lignes droites données par position ; première* ment on demande un point duquel on puisse tirer autant d'autres lignes droites , une sur chacune des données 9 qui fassent avec elles des angles donnés ^ et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront ainsi tirées d'un même point, ait la propc»rtion donnée avec le carré de la troisième, s'il n'y en a que trois ; ou bien avec le rectangle des deux autees, s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée, avec le parallélipipède composé des deux qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède des ti'ois autres; ou s'il y en a sept, que ce, qui se produit lorsqu'on en multiplie quatre l'un» par l'autre, ait la raison donnée avec oe qui se produit par la multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée ; ou s'il y en a huit, qu^ le produit de la multiplication de quatreait la proportion donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi cette question se peut étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé , il est aussi requis de connoître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il