LIVRE PREMIER

a'y a que trois ou quatre lignes droites données , c'est en une drs trois sections coniques; mais il n'entreprend point de la déterminer ni de la décrire , non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en av<»ent imaginé une quHls montroient y être utile , mais qui sembloit la plus manifeste , et qui n'étoit pas toutefois la première* Ce qui m'a donné occasion d'essayer si , par la méthode dont je me sers , on peut aller aussi loin qu'ils ont été.

£t premièrement j'ai connu que cette question Réponse à la n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq ^p^ppa..* lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie simple , c^est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas , ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ; excepté seulement lorsqu'il y a cinq lignes données , si elles sont toutes parallèles : auquel cas, comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides, c'est-à-dire en y employant quelqu'une des trois sections coniques; excepté seulement lorsqu'il y a neuf lignes données , si elles sont toutes parallèles : auquel cas, derechef, et encore en 10, 1 1 , 12 ou 1 3 lignes , on peut trouver les points cherchés par le

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moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré plu* composée que les sections coniques; excepté en treizç, si elles sont toutes parallèles : auquel cas^ et en i4, i,5, 16 et 17, il y £siudrâ employer une ligne cwirbe encore d'un degré plus composée que là. précédente , et ainsi à l'infini.

Pui3 j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois bu quatre, lignes données, les points cherchés se rencontrent tous , non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite; et que lorsqu'il y en a cinq , ou six, ou sept, ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui sont d'un degré plus composées que les sections coniques , et il est impossible d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question ; mais ils peuvent aussi derechef se rencontrer en une section conjque , ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou lo, ou 1 ï , ou ifi, ces points se rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus com^ posée que les précédentes ; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées y peuvent servir , et ainsi à l'infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes^ après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite , en la façon qui sera tahtôt expliquée.