LIVRE PB^EMIER. 52J

£n sorte quej^ pepse avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les anciens; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.

Soient {fig. 5 ) AB, AD, EF, GH, etc. , plusieurs lignes données par position, et qu'il faille trouver un point, comme G, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme GB, CD, CF et GH, en sorte que les angles GBA, GDA, GFE, GHG, etc., soient donnés, et que ce qui est produit par la multiplication d'une partie de ces lignes soit égal à ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question phis difficile.

Premièrement, je suppose la chose comme déjà comment on faite , et pour me démêler de la confusion de tou- teniM^ pou^* tes ces lignes je considère l'une des données, et ▼«p"fài'équa-

^ J ' uon de cet

l'une de celles qu'il faut trouver, par exemple AB exemple. et GB^ comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé a? ; et que BG soit nommé y; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusques à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées , s'il est besoin , et si elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu'elles

028 LA GÉOM£TRI£.

coupent la ligne AB aux points Ayï^G, et BG aux points R^,T. Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés , la proportion cjui est entre les cotés AB et BR est aussi donnée, et je la pose comme de ^ à ft , de façon que AB étant x ,

BR sera -j^, et la toute CR sera y+— , à cause

que le point B tombe entre^ G et R ; car si R tom-

boit entre G et B, CR seroity —; et si G tora-

boit entre B et R, GR seroit — y H — . Tout de

même les trois angles du triangle DRG sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés GR et GD, que je pose comme de

.z à c, de façon que GR étant y-l-7-, GD sera ^^ + -^. Après cela, pourceque les lignes AB, AB et EF sont données par position , la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée , et si on la nomme A, on aura EB égal à A+x/ mais ce seroît k — a? si le point B tomboit entre E et A; et — Aî+x si E tomboit entre A et B. Et pourceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme âe z k d, si bien que BS est

±t^, et la toute GS est 'l±^±^; mais ce seroit zy^dk^dx^ ^. 1^ pQijji- g tomboit entre B et G ; et ce seroit i:ifl±^!îl±^, si G tomboit entre B et S. De