LIVRE SECOND. 50Q

libre de les prendre tels qu'on veut; car, encore qu'il y ait beaucoup de choix pour rendre l'équation plus courte et plus aisée , toutefois en quelle façon qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paroisse de même genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer. Après cela , prenant un point à discrétion dans la courbe, comme C, sur lequel je suppose que l'instrument qui sert à la décrit*e est appliqué , je tire de ce point C la ligne CB parallèle à GA, et pourceque CB et BA sont deux quantités indéterminées et inconnues, je les liomme Tune y et l'antre x; mais afin de trouver le rapport de l'une à l'autre , je considère aussi les quantités connues qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme GA, que je nomme a^ KL que je nomme 6 , et NL , parallèle à GA , que je nomme c; puis je dis, comme NL est à LR, ou c k b, ainsi CB ou y est à BR, qui est par conséquent -y : et

BL est -y — b, et AL est aî+-y — b. De plus, comme CB est à LB , on y k-y — b, ainsi AG ou a est à LA ou a: + -y — b; de façon que , multipliant la seconde par la troisième, on produit -y — ab^ qui est égale à xyH — y* — by^ qui se produit en multipliant la première par la dernière: et ainsi l'équation qu'il falloit trouver est

y*=:cy — ^y+ay—acy ,

de laquelle on connoît que la ligne EC est du premier genre , comme en effet elle'n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne droite CNK, ce soit cette hyperbole , ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL, l'intersection de cette ligne et de la règle GL décrira, au lieu de l'hyperbole EC, une autre ligne courbe qui sera du second genre. Comme si CNR est un cercle dont L soit le centre, on décrira la première conchoïde des anciens; et si c'est une parabole dont le diamètre ^oit RB, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces lignes courbes du premier genre', c'en est ime du second qui termine le plan CNKL , on en décrira , par son moyen , une du troisième; ou si c'en est une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme il- est fort aisé à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on imagine la desclîption d'une ligne courbe , pourvu qu'elle soit du nombre de celles que je nomone géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au resfe, je mets les lignes courbes qui font