LIVRE SECOND. 34 i

monter cette équation jusqu'au carré de carré , au même genre que celles qui ne la font monter qUe jusqu'au cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres: dont 1^ raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui vont au carré de cube; de façon qu'on ne les doit point estimer plus composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre , encore que la plupart soient éga- • lement composées , en sorte qu'elles peuvent servir à déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a toutefois aussi quelques unes qui sont plus simples , et qui n'ont pas tant d'étendue en leur puissance; comme entre celles du premier genre, outre l'ellipçe, l'hyperbole et la parabole , qui sont également composées , le cercle y est aussi compris, qui manifestement est plus simple; et entre celles du second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle; et il y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises dans le premier.

Or, après avoir ainsi réduit toutes les lignes Saite de rex-

1 % ^ . «i > • / 1 plication de la

courbes^a certains genres, il m est aise de pour» question de

Pappus, mise siiivre CD la démonstration de la réponse que j'ai

au livre <* r • » i • i -r^

précédent, tantot taitc a la. question de Pappus: car premièrement, ayant fait voir ci-dessus que, lorsque 1 n y a que ti'ois ou quatre lignes droites données , l'équation qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré , il est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d'une ligne droite; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second genre, ou au-dessous; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes données, l'équation ne monte que jusqirtiu carré de cube, et que par conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous; et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites données peut Varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant les quantités connues que les signes -f- et — de l'équation, en toutes les façons imaginables , il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier genre qui ne soit utile à cette question , quand elle est proposée en quatre lignes droites; ni aucune du second qui n'y soit utile.