LIVRE SECOND

quand el|e est pri^posée en huit ; ni du troisième , quand elle est proposée en douze; et ainsi des autres : en sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre de lignes.

Mais il faut ici plus particulièrement que je dé- ^«4"**°° ^f*^ termine et donne la façon de trouver la ligne cher- v^^à eiie

U' • . u 1 VI , n'estproposée

cnee qui sert en chaque cas, lorsquil ny a que qu'en troi» ou trois ou quatre lignes droites données; et on verra, **"**" *^'**'*' par même moyen, que le premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que les trois sections coniques et le cercle. . *

Reprenons les quatre lignes AB, AD, EF, et GH ( fis- 5 ) données ci-dessus , et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant tiré les quatre lignes CB, CD, CF, et CH, à angles dontiés sur les données, CB multipliée par CF produit une somme égale à CD multipliée par CH; c'est-à-dire, ayant fait

CB=y, CD=^21±iff,cF=î21±i^±^,

etCH = 521±Mi:i*î, l'équation est *

, (efglz — dekz*)y.^ {dez'^cfgs -> bcgz)çcy^^ bcfglx -^ befgœ*

^ ez^^egz*

Les termes contenus entre deux parenthèses sont placés l'un sons l'autre dans les anciennes éditions , comme , par exemple , "^ J?^" tv.

344 la' GÉOMÉTRIE,

au moios en suppo^aiil: ez plus graixcjque cg, car s'il éloit moindre il faudroit changer tous less signes + e]t — . Et si la quantité y se trouvoit nulle ou moindre que rien jen cette équation, lorsqu'on a supposé le point C en l'angle DAG, il endroit le supposer aussi en l'angle DAE, ou EAR, ou RAG, en changeant les signes -4^ et — selon qu'il seroit requis à cet efifet. Et si e^ toutes ces quatre positions la valeur de y se trouvoit nulle , la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être possible , et pour en abréger

les termes, au lieu des quantités l^^^ J"* ^^^*" vous 2m; et au lieu de ..^!±5/^ii^ écrivons — ; et ainsi nous aurons •

y = 2my— '^xy + t^^^-^^fs^'

dont la racine est

et derechef pour abréger, au lieu de

jr = m^jWm^ r-^-V^ ^^^cgz^

2mn

Jt^M—^ écrivons o; et au lieu de^-

écrivons ^; car ces quantités étant toutes données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît :

et ainsi nous avons ^^^^^

y = m— ^a; + \/m'+(7a:+^aî% qui doit être la longueur de la ligne BC , en laissant AP ou X indéterminée. Et il est évident que

LXVR£ SECOND. 545

la qu€iStioQ n'étanjt propo^é^ qu'^en trpis ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques uns d'eux peuvent être nuls , et que les signes .+ et — peuvent diversement être changés.

Après cela je &is Kl égale et parallèle à BA, en sorte qu'elle coupe dé BG la partie BK égale à m , à cause qu'il y a ici Hh m; et je l'aurois ajoutée en tirant cette ligne IK de l'autre coté , s'il y avQtt eu — m; et je ne l'aurois point du tout tirée, si la quantité m eût été nulle. Puis je tire aussi IL, en sprte que la ligne IK est k KL comme zest kn ;

c'est-à-dire que IK étant x^ KL est ^x. Et par même moyen je cônnois aussi la proportion qui est entre KL et IL, que je pose comme entre neta: si bien que KL étant -x, IL est Ar. Et je fais que le point K soit entre L et C, à cause qu'il y a ici — ^; au lieu que j'aurois mis L entre R et G, si f eusse eu -f-Ar; et je n'eusse point tiré cette ligne IL, si ^ eût été nulle.

Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne LG que ces termes

LC = V^m'-^ 0X+ V, d'où je vois que s'ils étoient nuls , ce point G se trouveroit en la ligne droite H.; et que s'ils étoient

tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire que

m» et £â:* étant marqués d'un même signe + ou — ,

0^ fût égal à 4 p^? ou bien que les termes m' et ox,

ou ox et-x* fussent nuls, ce point C se troijveroit

en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus malaisée à trouver que IL. Mais lorsque cela n'est pas, ce point C est toujours en l'une des trois sections coniques ou en un cercle dont l'un des diamètres est en la ligne IL, et la ligne LC est l'une de celles qui s'appliquent par ordre à ce diamètre ; ou au contraire LC est parallèle au diamètre auquel celle qui est en la ligne IL est appliquée par ordre ;

à savoir si le terme ^af est nul, cette §ection conique est une parabole ; et s'il est marqué du signe +, c'est une hyperbole; et enfin s'il est marqué du signe — , c'est une elli^e, excepté seulement si la quantité a'm est égale à pz^ , et que Pangle ILC soit droit , auquel cas ou a un cercle au lieu d'une ellipse. Que si cette section est une parabole, son côté droit est égal à y, et son di^ètre

est toujours en la ligne IL; et pour trouver le point N , qui en est le sommet , il faut faire IN

égale à — ; et que le point I soit entre L et N, si les termes sont -f- m*-{-ox; ou bien que le point L soit entre I et N, s'ils sont -f-m* — ox ; ou bien il il faudroit que N fût entre I et L, s'il y avoit