LIVRE SECOND. 35l

CH ; car.il faut avoir toutes ces choses afin que la question soit entièrement déterminée ; et avec cçla, supposant AB=:a?^ et CB=y , on trouve par la façon ci-dessus expliquée

y2 = ay — a?y 4- 5a? — af.

yz=z\ — :^x + \/\-\-[^x — \x\

si bien queBK doit être i , et KL doit être la moitié de RI ; et pourceque l'angle IKL ou ABR est de 60 degrés , et KIL qui est la moitié de KIB ou IKL , de 3o, ILK est droit. Et pourceque IK ou AB est nommée x, KL est ^x, et IL est gj v/|, et la (^anlité qui étoit tantôt nommée z est 1 , celje qui étoit a est ^/~, celle qui étoit m est 1 , celle qui étoit 0 est

4 , et celle qui étoit p est ~ , de façon qu'on a ^Z-^-

pour IM, et vZ-i-f^pour NM; et pourceque fl'm^ qui est |, est ici égal à pz""^ et que l'angle ILC est droit," on trouve que la ligne courbe NC est un cercle. Et on peut facilement examiner tous les autres cas en même sorte.

Au reste, à cause que les équations qui ne mon- Quels sont les tent que jusqu'au carré sont toutes comprises soHdes,*et*u en ce que je viens d'expliquer, non seulement le ^«^^n de les problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des lieux solides , et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à causé qu'ils sont compris dans les

552 LA GÉOMJÉTRIE.

solides: car ces lieax nie sont autre chose, sinon que, lors<}U*il est question de trouver quelque point ahiquel il manque uûe condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'if arrive en cet exemple, tous les points d'une nsmie ligne peuvent être pris pour celui qui est demandé : et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan; mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme un -lieu solide : et toutefois et quantes que cela est , on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est". pareille à quelqu'une de celles que je viens de résoudre.- Que si la ligne qui déteraiine ainsi le point cherché est d'un degré plus composée que les sections tïoniques, on la peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi* des autres. £t s'il manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou sphérique, ou plus composée^ Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens en cette matière a été de parvenir à. la composition des lieux solides; et il semble q.fï(^tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour te premier genre des lignes courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole.