LIVRE SECOND

l'hyperbole et l'ellipse , qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.

Que si la question des anciens est proposée en QaeUe est la cinq lignes qui soient toutes parallèles, il est évi- ^J^^ dLpie dent que le point cherché sera toujours en une f^ ^^^^ }^

A * •' lignes conrbes

ligne droite; mais si elle est proposée en cinq qui servent

' ,. t .1 . . . , en la question

lignes, dont il y en ait quatre qui soient parai- des anciens lèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, ^i^po^^'en' et même que toutes les lignes tirées du point cher- ^^ **6™*ché les rencontrent aussi à angles droits , et enfin que le parallélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées sur Irois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélipipède composé des deux lignes tirées , l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles, et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite par le mouvement d'une parabole , en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données AB, IH, ED, GF, et GA (/îg^. 8), et qu'on demande le point C, en sorte que tirant CB,CF,CD,CH et CM à angles droits sur les données, le parallélipipède des trois CF, CD et CH soit égal à celui des deux autres CE et CM , et d'une troisième qui soit AI. Je pose GB=y, CM=x, AI ou AE ou GE=a; de façon

554 l'A. GÉOMÉTRIE.

(pie le point C étant entre les lignes AB et DE, j'ai CF=2 fl— y, CD=fl— y, et CH=isyH-tf ,• et multipliant ces trois l'utie par l'autre, j'ai y^ — 2ay*-^a*y^2 a^ égal au produit des trois autres, qui est axy. Après cela je considère la ligne courbe C£G, que j'ima^ gine être décrite par l'intersection de la parabole CKN, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre KL est toujours sur la ligne droite AB, et de la règle GL qui tourne cependant autour du point G en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette parabole par le point L. Et je fais KL=^tf, et le côté droit principal, c'est-àdire celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à a, et GA=2tf , et CB ou MAî=:y, et CM ou ABi=a:. Puis à cause des triangles semblables GMC et CBL,GM qui est 2 a— y, est à MC qui est x, comme CB qui est y, est à BL qui est

par conséquent -j^. Et pourceque KL est a^

BR est a^-- ——% ou bien îîlll2zi^. Et enfin pour-

ceque ce même BK, étant un segment du diamètre de la parabole , est à BC qui lui est appliquée par ordre , comme celle-ci est au côté droit qui est a^ le calcul montré que y' — say*— d^+3«' est égal à axy; et par conséquent que le point C est celui qui étoit demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne CEG qu'on veuille choisir, ou aussi en son adjointe cEGc , qui se décrit en même