LIVRE SECOND
tracer une ligne courbe , en trouvant indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent aussi être décrites par un mouvement régulier et continu , on ne la doit pas entièrement rejeter de la géométrie.
Et on n'en doit pas rejeter non plus celle où on Qtt«ii«« «f»*
* •' * aussi celles.
se sert d'un fil ou d'une corde repliée pour déter- qa'on décrit miner l'égalité ou la différence de deux ou* plu- corde, qui sieurs lignes droites qui peuvent être tirées de cha- ^^V^lL que point de la courbe qu'on cherche, à certains autres points , ou sur certaines autres lignes à certains angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l'ellipse et l'hyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucunes lignes qui semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt courbes , à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même , je crois , ne le pouvant être par les hommes , on ne potirroit rien conclure de là qui fiit exact et assuré. Toutefois à cause qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des lignes droites dont on connojit parfaitement la longueur , cela ne doit point faire qu'on les rejette.
Or de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont triTemmes tous les points d'une ligne courbe à tous ceux ^«& P^^f priéié»
* ^ *-' des lignes
d'une ligne droite, en la façon que j'ai expliquée, combes Usnfil est aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à le rapport
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qu'ont tons tous les autxes points et lignes donnés ; et ensuite
ceux des de coQnoître les diamètres, les essieux, les cen-
et^k Von de *^^®* ^^ autres ligues ou points à qui chaque ligne
tirer d'autres courbe aura quelque rapport plus particulier ou
lignes qui les ^ ^ rr- r r
coupent en plus simple qu'aux autrcs ; et ainsi d'imaginer di-
tous ces
points à vers moyens pour les décrire, et d'en choisir les angles roits, pj^^ facilcs; et mémc on peut aussi , par cela seul , , trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur de l'espace quelles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés qu'on peut attribuer aux lignes courbes , elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits , aux points où elles sont rencontrées par celles avec c^i elles font les angles qu'on veut mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes, la grandeur de ces angles n'e$t pas plus malaisée à trouver que s'ils étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir mis ici tout ce qui est requis pour les éléments <Jes lignes courbes , lorsque j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent à angles \ droits sur tels de leurs points qu'on voudra choi-
sir. Et j'ose dire que c'est ceci le problème le plus utile et, le plus général, non seulement que je sa-
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che , mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géométrie.
Soit CE (/ig^. 9 ) la ligne courbe , et qu'il faille ti- ^a^^^^ g«^°«rer une ligne droite par le point C, qui fasse avec trouver des elle des angles droits. Je suppose la chose déjà '^^uoupcnt faite , et que la ligne cherchée est CP, laquelle je ^^^^^^ prolonge jusqu'au point P, où elle rencontre la li- le^re contingue droite GA , que je suppose être celle aux points angles droits. de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne CE ; en sorte que faisant MA ou CB = y^ et CM ou BA = Xy j'ai quelque équation qui explique le rapport qui est entre a? et y ,• puis je fais PC = « j et PA = î?^ ou PM=î? — y; et à cause du triangle rectangle PMC, j'ai s% qui est le carré de la base, égal à a;*4-î?* — lîtvy+y", qui sont les carrés des deux côtés; c'est-à-dire j'ai
a? = y/s» — 1?*+ fàvy ^^y% .
ou bien
et par le moyen de cette équation , j'ôte de l'autre équation, qui m'explique le rapport qu'ont tpus les points de la courbe CE à ceux de la droite GA, l'une des deux quantités indéterminées x ou y; ce qui est aisé à faire en mettant partout
V/«' — !>*+ f^vy-^r-y^ au lieu de a?, et le carré de cette somme au lieu de 0?% et son cube au Ueu de 7? y et ainsi des autres,
si c'est X que je veuille ôter; ou bien si c'est y, en mettant en son lieu
et le carré ou le cube , etc. , de cette somme au lieu de y* ou y', etc. De façon qu'il reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus qu'une seule quantité indéterminée x ou y.
Comme si CE est une ellipse, et que MA soit le segment de son diamètre, auquel CM soit appliquée par ordre , et qui ait r pour son côté droit et q pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premî» livre d'Apollonius yX^-=zry — -y* , d'où ôtant a?% il reste
ou bien
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme que d'en faire une partie égale à l'autre.
Tout de même si CE {fig. 7) est la ligne courbe décrite par le mouvement d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (pag*. 34o ), et qu'on ait posé b pour G A , c pour KL, et rf pour le côté droit du diamètre KL en la parabole , l'équation qui explique le rapport qui est entre a: et y est ^ — by^ — cdy^bcd-^^dxy = o^
