LIVRE SECOND. 36l

d'où ôtant â? on a

y — by — cdy+ bcd + dy ^s* — 1?'+ 2vy — y"= o; et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication , il vient

y6 — 2 bf-^{b*—2 crf+rf")j^+(4 bcd—2d^v)f ) '+{ci'd''—dV'hd^v^—2b''cd)y^'-2bc^dy+b^ et ainsi des autres.

JVIême, encore que les points -de la ligne courbe ne se rapportassent pas en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne droite , mais en toute autre qu'on sauroit imaginer , on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme si CE {fig. 9 ) est une ligne qui ait tel rapport aux trois points F, G et A, que les lignes droites tirées de chacun de ses points comme C jusques au point F, surpassent la ligne FA d'une quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont GA surpasse les lignes tirées des mêmes points jusques à G. Faisons Gk=b,AF = c, et prenant à discrétion le point C dans la courbe, que la quantité dont CF surpasse FA, soit à celle dont GA surpasse GC, comme d k e; en sorte que si cette quantité qui est indéterminée se nomme z, CF est c+z, et GCe^tb — ^. Puis posant MA=y, GM est b — y, etFMestc-f-y^ et à cause du triangle rectangle CMG , ôtant le carré de GM du carré de GC» on a le carré de CM , qui est

36^ liA GliOMiTRIS.

puis ôtant le carré de FM du carré de CF, on a encore le carré de CM en d'autres termes, à savoir :^'+ 20Z — 2cy —y" ; et ces termç^ étatnt égaux aux précédents, ils font connoître y ou MA , qui est

et substituant cette somme au lieu de y dans le carré de CM , on trouve qu'il s'exprime en ces termes :

. bd*z* ^ce*%*^2bcd*z — ^bedez * . bd^-^ed* ^ '

Puis supposant que la ligne droite PC rencontre la courbe à angles droits au point C, et faisant -PC = « et PA = » comme devant, PMestr — f; et à cause du triangle rectangle PCM, on as* — »■ h- 2vy — y* pour le carré de CM, ou derechef, ayant au lieu de y substitué la somme qui lui est égale , il vient

2bed*z — abedez-^ ied*vz — abdevz-^ bd*s*-^bd*v* — c<l*t* •#- ed*v*

bd» H-M* +0* V -*- d»v '

pour l'équation que nous cherchioDs.

Or après qu'on a trouvé une telle équation , au lieu de s'en servir pour connoître les quantités », ouy, oujî^, qui sont déjà données, puisque lepointC est donné, o» la doit employer à trouver » ou s, qui déterminei^t le point P qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point P est tel qu'on le désire, le cercle dont H sera le centre, et qui passera par le point C, y touchera la ligne courbe GE sans la couper ; mais que si ce point P est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du