LIVRE SECOND

point A qu'il ae doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point C, mais aussi nécensairement en quelque' autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque ce cercle coupe la ligne courbe CE, l'équation par laquelle on cherche la quantité X ou j, ou quelque autre semblable, en supposant PA et PC être connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points C et E (fig, lo), ayant tiré EQ parallèle à CM, les noms des quantités indéterminées x et y*çonviendront aussi bien 9ux lignes EQ et QA qu'à CM et MA ; puis PE est égale à PC à cause du cercle , si bien que cherchant les lignes EQ et QA , par PE et PA qu'on suppose comme données, on aura la xoême équation que si on cberchoit CM et MA par PC, PA; d'où il suit évidemment que la valeur de x ou de y, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée , sera double en cette équation, c'est-à-^ire qu'il y aura deux racines inégales entre elles , et dont Tune sera CM, l'autre EQ , si c'est x qu'on cherche , ou bien l'une sera MA et Taiitre QA, si c'est y; et ainsi des autres. Il est vrai que si le point E ne se trouve pas du même côté de la courbé que le point C , il n'y aura que l'une de ces deuîç racines qui soit irraie , et l'autre sera renversée ou moindre que rien : mais plus ces deux points G et E sont proches l'un de l'autre, moins il y a de différence entre

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ces deux racines ; et enfin éfles sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un , c'est-à-dire si le cercle qui passe par C y touche la courbe CE sans la couper.

De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une équatiori , elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soimême la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue qui lui est égale , et qu'après cela , si cette dernière somme n'a pas tant de dimensions cfae la précédente, on la multiplie par ime autre somme qui en ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus, à savoir

doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant e égal à y, et multipliant y — e par soimême, d'où il vient y" — 2ey+6% en sorte qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire qiie puisque le premier qui est y», est tout Je même en l'une qu'en l'autre , le second qui est en l'une ^^""'^''^ , est égal au second de l'autre qui est — 2ey; d'où cherchant la quantité v qui est la ligne PA , on a r = ^ — ^^ -4- t^^ ou bien à cause