LIVRE SECOND

flèche YM de l'arc CYC sont données. La question viennent d'un

, 1 r -111 antre point

va là , que premièrement il faut considérer de la- donné. quelle des ovales expliquées la superficie du verre YC doit avoir la figure , pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point , comme vers H , qui n'est pas encore connu , . s'aillent rendre vers un autre , à savoir vers F , après en être sortis. Car il n'y a aucun efifet touchant le rapport des rayons , changé par réflexion ou réfi:*action d'un point à un autre, q^ui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3 ( fig. 14 ), ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2 ( fig. 1 3 ). Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l'une que pour l'aulre, prendre Y {fig. 17 et\%) pour leur sommet , C pour l'un des points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points brûlants ; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l'autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la diflFérence qui est entre les lignes FY et FC doit être à celle qui est entre lés lignes HY et HC comme destke ^ c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre , ainsi qu'on peut voir manifestement de

380 LA GÉOMIÊTRIB.

la description de ces ovales. Et pourceque les lî-» gnes FY et FC sont données, leur difierence l'est aussi , et ensuite celle qui est entre HY et HC , pourceque la proportion qui est entre ces deux différences est donnée. Et de plus , k cause que YM est donnée , la différence qui est entre MH et HC l'est aussi; et enfin pourceque CM est donnée, il ne reste plus qu'à trouver MH le coté du triangle rectangle CMH dont on a l'autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé; d'où il est aisé de le trouver : car si on prend k pour l'excès de CH sur MH, et tt pour la longueur de la ligne CM, on aura ^ -r- 1^ poiir ]VIH. Et après avoir ainsi le point H , s'il se trouve plus loin du point Y (/îo^. 18) que n'en est le point F, la ligne CY doit être la première partie de l'ovale du troisième genre , qui a tantôt été nommée 3 A3 (/îg*. i4). Mais si HY {fig. 17 ) est moindre que FY : ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence estplus grande à raison de la toute FY que n'est e la moindre des lignes qui mesurent le^ réfractions comparée avec d la plus grande, c'est-àdire que faisant HF= c ^ et HY===: c-j- h, dh est plus grande que f:^çe+ eh^ et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 ( fig. i4 ) : ou bien dk est égale ou moindre que 2ce -^ eh^ et lors CY (fig. 1 7 ) doit être la seconde partie de l'ovale du

livAè seOonï). 38i

second genre , qiiî a ci-dessus été nommée 2X2 (fig'i^): et enfin si le point ^{fig.i'j) est le même que le point F, ce qui n'arrive que lorsque FY et FC sortt égales , cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce verre , qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant , si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles j et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose qu'ils vieur nent du point ,G , ce doit être la première partie d'une ovale du premier genre* dont les deux points brûlants soient G et H, et qui passe par le point G; d'où on trouve le point A pour le som- • met de cette ovale , en considérant que GC doit être plus grande que GA d'une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme d k e ; car ayant pris k pour la différence qui est entre GH et HM , si on suppose x pour AM , on aura x — k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données , on aura g+x pour celle qui est entre GG et GA ; et pourceque cette dernière §•+ x est à l'autre x — k comme d^stk e ^ on a

ge-^ex^^dx — dk.

Ou bien ?i±^ pour la ligne x ou AM , par laquelle on détermine le point A qui étoit cherché.

-^ . ,, , Gomment on

Posons maintenant pour 1 autl*e cas , qu on ne peut fidre un

Terre qui ait douiie qu€ Ics poînts G,C BtF (fig. 1 8) , avec la pro-

le même effet

que le précé- poition qui est entre les ugnes AM et YM, et qu'il ulouveidté f^îUe trouver la figure, du verre ACY qui fasse que de iw de ses ^^^g j^g ravous oui vieuneut du point G s'assem-

saperficies ait «/ ^ r

la proportion bleut aufipînt F.

celle de Ou peut derechef ici se servir de deux ovales

l'antre. ^^^^ j,^^^^ ^q ^^ G et H pour ses points brûlants ,

et l'autre CY ait F et H pour les siens. £t pour les trouver, premièrement , supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu , je cherche AM par les trois points G^C^H, en. la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre CH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AC étant la première partie de l'ovale du premier genre , j'ai ^j—- pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois points F,C,H, en sorte que CY soit la première partie d'une ovale du troisième genre; et prenant y pour MY, et / pour la différence qui est entre CF et FM , j'ai f^y pour celle qui est entre CF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre CH et HM , j'ai A-j-y pour celle qui est entre CH et HY, que je sais devoir être à /H-y comme e est k d^k cause de l'ovale du troisième genre , d'où je trouve que y ou

MY est ~^^ ; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM et MY, je trouve ^^3^ pour la toute ÀY : d'où il suit que , de quel-