LIVRE SECOND

que côté que sert t supposé le point H , cette ligne AY ' est toujours composée d'une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e ^ la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du veEPe proposé, est à d — e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or ayant ainsi la toute AY, il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY; au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H par le problème précédent. Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi

trouvée est plus grande que t^- , ou plus petite , ou

égale. Car si elle est plus grande , on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d'une ovale du premier genre , et CY la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées; au lieu que si elle est plus petite , cela montre que c'est CY qui doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d'une du troisième; enfin si AM est égale à ^-, les

deux courbes AC et CYdoivent être deux hyperboles. On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que je ne m'arrête pas à déduire , à cause qu'ils n'ont eu aucun usagft en la dioptrique.

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Oti pourroit aussi passer outre et dire ( lorsque l'une des superficies du verre est donnée, pourvu qu elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles ) comnient on doit faire son autre superficie, afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi donné ; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert. Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention des choses qui sont ici démontrées. Comment on Au rcstc jc n'ai parlé en tout ceci que des lignes qSIrceq^a courbcs qu'ou pcut décrfrc sur une superficie %^^ZuT- plate; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai bes , décrites ^j^- ^ toutcs cellcs qu'on sauroit imaginer être forperficie plate, mécs par Ic mouvcmcut régulier des points de

à celles qoi se j * ^ • i«

décrivait quelque corps dans un espace qm a trois dimencf" '•"a uSii sioi^s : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de dimensions, chacuu dcs poiuts de la ligne courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans , desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à

LÎVRB SECOND. , 385

ces .deux plans, au mpyen de quoi ceux de la courbe qui a trois cjiipensions sont enti^ement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits , il faut seulement tirer doux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits. les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites , qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura Fintersiection de ces deux plans pour la ligne droite, cherchée. Et ainsi' je pense n'avoir rien osais des éléments qui sont né^ cessaires pour la connoissance des lignes courbes.

386 LA GÉPMÉTRIE.