LIVRE TROISIÈME
démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent par l'instrument XYZ (/îg*. 6) ci-dessus expliqué. Car, voulant trouver de^ix moyennes proportionnelles entre Y A et YÈ, il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE , et çourceque ce cercle coupe la courbe AD au point D, YD est Pune <les moyennes proportionnelles cherchées , dont la démonstration sa voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD; car, comme YA ou YB , qui lui est égale, est à YG , ainsi YC est àYD,etYDàYE.
Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entr^ YA et Y'N^il ne faut que tracer le cercle YFG qui , coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ces quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH au point H, détermine YH l'une des six; et ainsi des autres. ,
Mais pourceque la ligne courbe AD est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier; et aussi poiircequ'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce ^eroil une faute en géométrie que de les y employer. Et c'est une faute* aussi,
d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet. De la natare Qr, afin quc je puissc jci douncr quelques règles
desëquations. , . u i» i i ' r -i
pour éviter 1 une et I autre de ces deux fautes , il ÙM que je dîe qudque chose en général de la nature des équations , c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie connus et partie inconnus > dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.
Combien a Sachez donc qu'en chaque équaîtion , autant que peut y avoir ^^ quantité inconnue a de dimensions , autant peut-
•dc racines en ^ ^ • ,
chaque éqna- il y avoir de diverscjs racines, c'^st-à-dire de valeurs de cette quantité; car, par exemple, si on suppose X égale à â , ou bien x — 2 égal à rien; et derechef aî=3, ou bien x — 3=(?/ en multipliant ces deux équations
X — 1^=(? y et X — 5=0 , l'une par l'autre , on aura
ou bien
qui est une équation en laquelle la quantitéo^vaut s et toujt ensemble vaut 5. Que si derechef on fait
X — 4=^> et qu'on multiplie cette somme par
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on aura
c|ui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont
a , 3 et 4-
Mais souvent il arrive que quelques unes de ces Quelles sont
. j lesfiBuisses
racines sont fausses ou moindres que rien ; comme racines. si on suppose que x désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5, on a
x-|-5=(?, qui , étant multipliée par
^ — gx'-j-aôa: — 24 =<? > fait
x^ — 4^ — ^ Q^'^ 1 <>6a; — 1 2 0=0 pour une équation en laquelle il y a quatre racines , à savoir trois vraies qui sont 2 , 5 , 4 ? et une fausse qui est 5.
Et on voit évidemment de ceci que la somme Comment on
1, , . . . , . . peutdiminuer
dune équation qui contient plusieurs racines peut le nombre des toujours être divisée par un binôme composé de awrélçM-
la quantité inconnue moins la valeur de Tune des tion lorsqu'on ' counoit quel-
vraies racines , laquelle que ce sôit , ou plus la va- qu'une de ses
leur de Tune des fausses; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.
Et réciproquement qu« si la somme d'une équa- Comment on
^ , , pcat exami-
tion ne peut être divisée par un binôme composé nersiquoiquc de la quantité inconnue -+- ou — quelque autre ^reestu^
Sgo L'A. g]éom:iétrie.
râleur d'anc quantité, ccla témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines. Ccrmme cette dernière
a^ — 4^* — 1 ga:**!* 1 06a; — 1 fi o =(?
peut bien être divisée par x — 2 , et par x — 3 , et
par X — 4 ? 6t par a:+5 , mais non point par ;c+ ou —
aucune autre quantité; ce qui montre qu'elle ne
peut avoir que les quatre racines 2 , 3, 4 ®* 5-
Combien il On conHoît aussi de ceci combien il peut y avoir
I^Ii^Twi' ^^ vraies racines et combien de fausses en chaque
nci en chaque équatiou : à savoir il y en peut avoir autant de
équation. *■ ^ */ i
vraies que les signes + et — s'y trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s'entre-suivent. Comme en la dernière, à cause qu'après -f-x^ il y a — 4^, qui est un changement du signe + en — , et après — 19a;* il y a +1060?, et après -f-io6aî il y a — 1 fio , qui sont encore deux autres changements, on connoît qu'il y a trois vraies racines; et une fausse*, à cause que les deux signes — de ^ et igx* s'entre-suivent.
Comment on D^ plus, il cst aisé de faire en une même équafa^e^a*ci^es ^^^^ V^^ toutcs Ics raciucs qui étoient fausses ded*une équa- viennent vraies , et par même moyen que toutes
tiondeyien- . / . . , . r ^
nent vraies, celles qui étoicut vraics deviennent fausses, a sa-
**feussc"^ voir en changeant tous les signes -f- ou — qui sont
en la seconde, en la quatrième, en la sixième , ou
autres places qui se désignent par les nombres
