LIVRE TROISIÈME

passer FIG le premier cercle cherché. Of ce cercle FG peut couper ou toucher là parabole en un, ou deux, ou trois, ou quatre points, desquels tirant des perpencUculaites sur Tessieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies que fausses. A savoir si la Quantité q est marquée du signe -f- , les vraies racines Seront celles de ces perpendiculaires qui se trouveront du même côté de la parabole que E le centre du cercle , comme FL ; et les autres , comme GK , seront fausses. Mais au contraire , si cette quantité q est marquée du signe — >, les vraies seront celles de Tautre côté , et les fausses ou moindres que rien seront du côté où est E le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe ni ne touche la parabole en aucun point , cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation , et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

Et la démonstration en est fort aisée ; car si la ligne GK {fig, 20), trouvée par cette construction, se nomme z , AK sera z^ , à cause de la parabole en laquelle GK doit être moyenne proportionndle entre AR et le côté droit qui est 1 ; puis , si de AK j'ôte AC qui est \ , et CD qui est ^p , il reste DK ou EM qui est î:**— ^p — ^, dont le carré est

et à cause que DE mi KM est ^q , la toute GM est

4i2 LA geom:étrie.

z+T?5 dont le carré est

et assemblant ces deux carrés on a

pour le cairé de la ligne GE , à cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais à cause que cette même ligne GE est le demi-diamètre du cercle FG , elle se peut encore expliquer en d'autres termes , à savoir ED étant 7^, et AD étant tP+T!> AE est

à cause de l'angle droit ADE ; puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR

qui est r, elle est y/r; et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE ou EG est

si bien qu'il y a équation entre cette somme et la précédente , ce qui est le même que

et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette équation, ainsi qu'il falloit démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes + et — selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arrête.

L'invenUon Si OU vcut douc , suivaut Cette règle, trouver deux