LIVRE TROISIÈME

qu'on peut ôter le second terme de celle&^ci; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse réduire à quelqu'une de ces trois formes :

, z^=^^pz — q.

Or si on a z^= — p^-^g \ la règle dont Cardan attribue l'invention à un nommé Scipio Ferreus nous apprend c^e la racine est

Comme aussi lorsqu'on a z^^n-J^^pzJ^q ^ et que le carré de la moîtié du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est

D'où il paroît qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sçctions coniques pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces quantités et l'unité.

Puis , si on a z^= -i-pz^q , et que le carré de la moitié du dernier terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième, en supposant le afrcle NQPV dont le

4l6 LA GÉOMÉTRIE.

demi-diamètre NO soit ^/jp, c'est-à-dire la'mpyenne proportionnelle entre le tiers de la quantité donnée p et l'unité, et supposant aussi la ligne NP inscrite dans ce cercle qui soit^, c'est-à-dire qui

soit à l'autre quantité donnée q comme l'unité est au tiers de p , il ne faut que diviser chacun des deux arcs NQP et NVP en trois parties égales , et on aura NQ la subtendue du tiers de l'im , et NV la subtendue du tiers de l'autre , qui jointes ensemble composeront la racine cherchée.

Enfin si on a z^=pz — q, en supposant derechef le cercle NQPV dont le rayon NO soit y/jp, et l'inscrite NP soit —, NQ la subtendue du tiers

de l'arc NQP sera l'une des racines cherchées, et N V la subtendue du tiers de l'autre arc sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du pénultième ; car s'il étoit plus grand , la ligne NP ne pourroit être inscrite dans le cercle , à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre , ce qui seroit cause que les deux vraies racine^ de cette équation ne seroient qu'imaginaires , et qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse , qui , suivant la règle de Cardan , seroit

La façon d'ex- a ^ 'i . .^ ^^ r

primer la va- ^^^ ^^te , il esl A remarquer que cette façon