LIVRE TROISIÈME

ligne plus composée que la circulaire , c'est chose qu'on peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions , en Tune desquelles il . faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent deux moyennes proportionnelles entre deuxlignes données ^ et en l'autre les deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné ; car d'autant que la courbure du cercle ne dépend que d'un seul rapport de toutes ses parties au point qui en est le centre , on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un arc donné; au lieu que la dourbure des sections coniques, dépendant toujours de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points diflFérents.

Mais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent l'invention de quatre moyennes proportionnelles , ou la division d'un angle en cinq parties égales, puissent être construits par ai^cune des sections coniques. C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qqi se puisse, si je donne une règle génér raie pour les construire, en y employant la ligne courbe qui se décrit par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite en la façon ci-dessus

nons.

4âO LA GÉOMÉTRIK.

expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de plus simple en la nature qui puisse servir à ce même efifet , et vous avez vu comme elle suit immédiatement les sections coniques en cette question tant cherchée par les anciens , dont la solution enseigne par ordre toutes les lignes courbes qui doi- ^ vent être reçues en géométrie.

Ji^uTwm- Vous savez déjà comment, lorsqu'on cherche stroire tous j^g quantités qui sont requises pour la construc-

les proDlemes ■■' y

rédoits à nue tiou dc CCS problèmcs , OU Ics pcut toujours rén'a point pins duife à quclquc équation qui ne monte que jusques ^* 'îf™"**^"" au» carré de cube ou au sursolide. Puis vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second ; et enfin comment, si elle ne monte que jusqufes au sursolide , on la peut hausser jusques au carré de cube , et faire que la place d'aucun de ces termes ne manque d'être remplie. Ch», afin que toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une même règle , je désire qu'on fiasse toutes ces choses , et par ce moyen qu'on les réduise toujours à une équation de telle forme ^

et en laquelle la quantité nommée q soit plus grande que le carré de la moitié de celle qui est nommée f).