LIVRE' TROISIÈME

et le carré de GH est

Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le point G , comme vers N ou vers Q , on trouvera toujours que le carré de la ligne droite qui est entre le point H et celui où tombe la perpendiculaire du point G sur BH , peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les mêmes signes + et — .

De plus , HI étant ^, et LH étant — ^, IL est

à cause de l'angle droit IHL; et LP étant

IP OU IG est

%/m« I f £ pr^u

à cause aussi de l'angle droit IPL. Puis ayant fait GlVl perpendiculaire sur IH , IM est la dififérence qui est entre HI et HM ou GG, c'est-à-dire entre ^ et y, en sorte que son carré est toujours

qui étant ôté du carré de IG , il reste

pour le carré de GM, qui est égal au carré de GH

4^6 LA GÉOMiTRIE.

déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par ny , on a

Tu-

puis remettant ^/4-yj^±^y pour n^, et

r)''+2v/«/H-,^/pour2m/;.etinultipliantrune et l'autre comme par »»y*, on a

égala

c'est-à-dire qu'on a * *

D'où il paroît que les lignes CG , NR, QO , et semblables, sont les racines de cette équation , qui est ce qu'il falloit démontrer.

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes aêtb^ ayant posé X pour la première , l'équation est

x^ — a^b=o , ou bien x^ — a^bx^=o.

Et faisant y — û=a; , il vient

y6— 6ay«-f.i5a»y <— 200^4- i5flV — (6«*-f-û*%4-a*-f-a''*=<i;

c'est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB , et

pour BK ou le côté droit de la parabole , que j'ai