OBSERVATIONS MODERNES

Observations de M. Lindenau sur la polaire âo^&Ag

Observations de MM. Struve et Reuss, exécutées à Dorpat de i8ss à i838, sur les variations de la polaire en ascension droite, calculées par M. Peters 3o',&a5

684 LEÇOjNS sur L'OPTIQUE.

Mêmes observations sur les variations de la polaire en déclinaison ,

calculées par M. Lundahl. âo%55i

Observations de M. Petei*s sur la polaire à Tobservatoire de Poul-

kova -^o'^SoS

On pourra donc prendre pour valeur de Taberration la moyenne des nombres précédents, 9o",5; Terreur sera moindre que ^ de seconde.

387. Dcs>*^ d'emaetitude de la valeur de la vlieMie de la lumière déduite de Talierratioii. — On obtient ainsi le rapport de la vitesse de la lumière à celle de la terre. Cette dernière se calcule à l'aide des dimensions de l'orbite terrestre; or ces dimensions sont au nombre des éléments les moins bien connus de la sphère céleste. Encke a calculé, d'après toutes les observations des passages de Vénus en 1761 et 1769, la parallaxe du soleil, qu'il a trouvée égale à S^oyi 16, nombre dont la précision n'est probablement pas égale à celle du nombre qui représente l'aberration. En admettant qu'il ait le même degré de précision, on trouve pour la vitesse de propagation de la lumière 3o6,/io8 kilomètres par se* conde, à ^ près : c'est environ 76,000 lieues modernes ou 70,000 lieues de a 5 au degré.

Mais la parallaxe solaire est imparfaitement connue; sa valeur, déduite des observations faites sur les oppositions de Mars, serait de g",! a 5. On ne peut donc espérer de déterminer par des observations astronomiques la vitesse de la lumière avec plus de précision « tant que l'on ne connaîtra pas avec une approximation plus grande la distance de la terre au soleil, c'est-à-dire jusqu'en 188/j, époque du prochain passage de Vénus sur le soleil.

388. Dififteulté relative à l'aberration dans le •xatème des ondée. — Nous allons maintenant passer en revue les conséquences que l'on doit tirer du phénomène de l'aberration relativement à la liaison qui existe entre le mouvement de l'éther et celui de la matière pondérable.

Dans le raisonnement que nous avons fait pour expliquer ce phé-

nomène, nous avons implicilement supposé que la lumière se propage dans l'atmosphère comme si la terre était immobile. Gela se conçoit dans le système de l'émission; mais pour se rendre compte du phénomène dans la théorie des ondulations, il faut admettre que Téther n'est pas entraîné par la terre : or, tl'un autre côté, l'existence de milieux inégalement réfringents montre bien que la matière pondérable exerce une action sur l'éther; il faudrait donc admettre que , les milieux pondérables exerçant une action sur l'éther, l'éther contenu dans l'atmosphère n'est pas sensiblement entraîné par la terre. Mais alors comment expliquer ce fait que le phénomène de l'aberration n'est jamais modifié par l'épaisseur plus ou moins grande des milieux réfringents qui se trouvent dans la lunette ? Car en admettant même que la colonne d'air contenue dans le tube de la lunette n'entraîne pas l'éther avec elle, ce qui parait assez singulier, du moins les milieux réfringents, comme le verre, devraient agir sur l'éther et l'entraîner; donc l'épaisseur et la nature de ces milieux devraient influer sur l'aberration; cependant l'expérience montre qu'il n'en est rien.

Boscowich proposait, pour rendre le phénomène sensible, d'employer .une lunette dont le tube serait rempli d'eau; nous verrons plus loin quels résultats donnerait cette expérience.

389. Expérlenee négative d'ArAff», déiiiontr»iit que la w^lteMie de la terre est mmaàm inllueiiee sur l*lndlee de réfraetien de la lumière venue des étoiles. — Arago a essayé de lever toutes les diflicultés que nous venons de faire connaître fSif l'observation d'étoiles situées dans des régions différentes du plan de l'écliptique. En effet, considérons un prisme réfringent et faisons tomber sur ce prisme des rayons émanés d'une étoile située dans la région vers laquelle marche la terre : tout se passera comme si la vitesse du prisme, c'est-à-dire la vitesse de la terre, s*ajoutait à celle de la lumière. Si l'on observe au contraire une étoile située à 180 degrés de la première, tout se passera comme si les rayons arrivaient sur le prisme avec une vitesse égale à la différence des vitesses de la lumière et de la terre : or l'indice de réfraction est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le prisme et dans le

s'étendre à ua temps Bni, d'où il résulte que tout se passe en réalité comme si l'étber était animé d'une vitesse qui serait à celle du coq>s pondérable dans le rapport de A à i + A.

393. ExpltMttttB de l'alwmiUaB dftns un mUlMi «Iflèvent du vide ou de l'air. — En nous fondant sur ce principe, nous allons faire voir qu'on doit toujours trouver la même valeur pour l'aberration, soit qu'on l'observe dans le vide, soit qu'on l'observe à l'aide d'une lunette contenant de l'eao ou d'autres milieux réfringents.

Soit SI ((îg. s5o) un rayon venant d'un astre S et tombant normalement sur une couche d'un milieu homogène; si le milieu est immobile, le rayon arrivera au point A. Supposons le milieu animé d'une vitesse de translation 6 perpendiculaire à la direction Fi(. iBo. du rayon SI ; soit v la vitesse de la lumière :

ta vitesse de l'éther renfermé dans le milieu sera — r ■ Les vitesses de la lumière dans les deux milieux sont en raison inverse des racines carrées des densités de l'éther dans ces deux milieux; on a

ce qui donne, pour la vitesse de l'éther.

Si l'éther seul était en mouvement, le rayon n'irait pas au point A, mais en un point B' tel. que ce point viendrait de B' en A « vertu de la vitesse de l'éther, pendant que la lumière va de I en A; si le milieu seulement était en mouvement, le rayon arriverait en on point B" tel , que ce point viendrait de B" en A en vertu de la vitesse 9 du milieu pendant que le rayon vient de 1 en A. Les deux mouvements existant simultanément, il en résulte que le rayon arrive en

un point B tel, que ce point va de B en A en vertu d'une vitesse égaie à la différence des vitesses du milieu et de i'éther, c'est-àdire à

pendant que la lumière parcourt lA, et l'on voit l'astre dans la direction BI. Si l'on pose AB = a?, IA = /, et si l'on remarque que la

vitesse de la lumière dans l'intérieur du milieu transparent est-i on a

Or 7 représente la tangente de l'aberration , ou, si l'on veut, l'abcrration eile-méme ,- est la valeur de l'aberration dans le vide: il

existe donc entre j et - la même relation qu'entre un angle d'incidence dans un milieu dont l'indice de réfraction est n et l'angle d'émergence correspondant; il en résulte que, si l'on observe le rayon

au sortir du milieu transparent, on trouvera pour valeur de l'aber-

B ration - • Donc l'interposition des milieux réfringents n'influe en

rien sur la valeur de l'aberration.

393. Influeiiee ^gètàérwAt du m^meniMit de 1a terre les phéneinéiiee d'optique. — Nous avons maintenant à chercher quelle est l'influence du mouvement de la terre sur les phénomènes optiques en général, à voir, par exemple, si les lois de la réflexion et de la réfraction qui ont été trouvées, en supposant immobiles les surfaces réfléchissantes ou réfringentes, ne sont pas modifiées par suite de l'existence de ce mouvement. En effet, si l'ëther était entraîné dans le mouvement commun avec la même vitesse que les corps pondérables qui y participent » il est clair que tout se passerait comme si le système entier était en repos ; mais il n'en est rien. L'éther du vide ne participe en aucune façon à ce mouvement, l'éther de l'air n'y participe que très-peu. Enfin, Téther

690 LEÇONS SUH L'OPTIQUE,

des corp.s pondt^rables est entraîné avec une vitesse qui vane avec la nature du corps, mais qui est toujours plus petite que culle des corps pondérables. Il y a lieu de rechercher quelle est l'influeDce de cette inégalité de vitesse. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que le milieu extérieur est le vide, et que par coiistSquent Téther qui y est contenu n'est entraitié en aucune façon par le mouvement de la terre. Si ce milieu était l'air, les résultats ne seraient changés, d'après ce que nous avons dit plus haut, que d'une quantité très-petite.

39â. BéOexl*!!. — i" Cas où la surface réféehiMante est parallèle A la direction du mouvement de la terre. — Nous commencerons par le phénomène de la réflexion et nous considérerons d'abord le cas où la surface réfléchissante AC est placée de telle façon qu'elle glisse parallèlement à la direction du mouvement de la terre. Oa prend à chaque instant pour direction de ce mouvement la résultante du mouvement de translation et du mouvement de rotation de la terre. Considérons un faisceau de rayons parallèles tombant sur la surface AG. Soient SA (flg. qSi) uu de ces rayons, AB la trace d'uo

plan normal à la direction du rayon passant par le point A, SB un rayon tel , que pour venir du plan normal jusqu'à la surface réQéchissante il mette un temps égal à l'unité. Si l'on prend pour unité de longueur la vitesse de propagation du la lumière dans le vide, oo aura BC=i. Pour avoir la direction du rayon réfléchi en A, il faut, d'après une construction connue, décrire du point A comme

centre, avec un rayon égal à l'unité, une circonférence à laquelle on mène une tangente par le point G, et joindre le point de contact au point A. Cette construction se fera de la même manière, que la surface réfléchissante soit immobile ou non, car l'éther extérieur n'est pas entraîné. On a ainsi la direction absolue AK du rayon ré* fléchi ; AK = t puisque K est le point de contact de la tangente. Mais remarquons que le point physique, qui était en A lorsque le rayon incident arrivait en ce point, n'y est plus lorsque le rayon réfléchi arrive en K. En vertu du mouvement de translation de la terre, pendant que la lumière va de A en K, c'est-à-dire pendant l'unité de temps, le point A vient en Aj, et, si l'on représente par 0 la vitesse du mouvement de la terre, on aura AA^ = 0. L'observateur placé en A, et qui, pour déterminer la direction du rayon réfléchi, se sert de deux mires placées l'une en K, l'autre en A, verra donc ce rayon dans la direction AjK; c'est ce que nous appellerons direction apparente du rayon réfléchi.

Soient t l'angle d'incidence , x l'angle apparent de réflexion , c'està-dire l'angle de A^K avec la normale à la surface, dans le triangle KAAi ; on a

AA, g sinAKA, AK 1 sin AAjK *

Or on a

AKAi=KA,C~KAAi = ^-x-(J^i)=t-x,

d'où

^ sin (i—x)

cosx

Donc l'angle apparent de réflexion n'est pas égal à l'angle absolu d'incidence ; mais ce dernier angle n'est pas égal à l'angle apparent d'incidence. En efl'et, prenons à gauche du point A une longueur AA2 = Ô. Considérons le rayon SAg et prenons sur ce rayon, à partir du point Aj, une longueur A2P= i. Pendant que la lumière va de P en As, le point A2 va de A2 en A. Le rayon incident en A aura

892 LEÇONS SUR i;OPTIQtJE.

donc la direction apparente AP. Soit y l'angle apparent d'incidence: par un calcul tout h fait semblable au précédent , on aura

COSJ '

d'autre part on a

on en tire if ^ x.

Dans ce cas, l'égalité subsiste donc rigoureusement entre lea angles apparents de réflexion et d'incidence.

395, 2" Qis oïl la surface réfléchissante est entraînée par la tort dam une direction parallèle à celle des rayons incidents. — Supposons PII second lien que chaque point de la surface réfléchissante soit animé d'une vitessi^ parallèle à la direction des* rayons incidents et

égale à $. Soit AB (fîg. sB-i) la surface réfléchissante : au bout de l'unité de temps elle sera venue en AjBi, de manière qu'on ail AA, = BB, = fl.

Considérons un rayon SB tel , que pour aller du plan normal à ta direction des rayons incidents jusqu'à la surface réfléchissante, dans sa position nouvelle au bout de l'unité de temps, la lumière mette Dn temps égal à l'unité, c'esl-à-dira tel qu'on ait B|K= 1.

Pour avoir la direction absolue du rayon réfléchi , on trace du point A comme centre, avec un rayon égal à Tunité, une circonférence à laquelle on mène une tangente par le point Bj, et Ton joint le point de contact C au point A. En effet, les rayons SA et SBj sont tels /qu'ils rencontrent la surface réfléchissante à des époques séparées par un intervalle de temps égal à Tunité. On a ainsi la direction absolue AG du rayon réfléchi. La direction apparente de ce rayon sera A^G; quant à la direction apparente du rayon incident, elle coïncide évidemment avec la direction absolue du même rayon, puisque le point A se déplace parallèlement à cette dernière direction.

Soient donc t l'angle d'incidence, r l'angle absolu de réflexion, X l'angle apparent de réflexion. Dans le triangle AA^G, on a

0 sin ACAt^

1 sin CAjA' or

ACAj = CAK -- CA^ A == w — (i + r) — [tt — ( i + x)] = j; - r. et

GA]A =7r— (i \-x) ;

d'oL

et par suite

sin CAjA ==sin (i + x),

/j sin ^x—r)

Prolongeons CBi jusqu'à sa rencontre avec AB en D. Dans le triangle rectangle AGD on a

AG = 1 . AD sin GDA = AD sin r, AD « AB + BD.

Dans le triangle AKB on a

AB sin AKB KB sinKAB'

d'où

Dans le triangle BB^U on n

BD sin BB,D

d'où

BB, sin BDB, '

BD sin BB,D ô"""sinBDB/

BBiD = BiBA-BiDB = J-t-r

donc

BDBi = r;

sm r

AD = AB + BD = ^4-e^-^iii±î:l.

sm i sin r

L'équation devient

1 =ADsinr

(i 4-ô)sinr

sin D'autre part, on a

h6cos(t4-r).

/j sin(a:— r) Sin (n-a-j

Mettons ces équations sous la forme

sin {x — r) = 0 sin (t + x) , ( 1 + 6) sin r + ô cos (/ + r) sin t = sin t ;

éliminons r entre ces deux équations, et pour cela développons

sin {x —r) et cos (* + r),

il vient

— cos X sin r 4- sin x cos r = ô sin (i + x) ,

(i + 6 cos^ i) sin r 4- 6 cos i sin i cos r = sin i. Eliminons cosr en multipliant la première équation par 0cosisini,

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. 695 la deuxième par sin^^ et retranchons; nous aurons ainsi

[(i +ôcos^î)sin j? 4- ô cos a? sin i cost] sinr = sintsin x. En éliminant de même sin r, il viendra

[(i +6 cos^i) Ànx+6 cosx sin i cos t] cosr=sin i cos x+Q sin {i+xY Élevant au carré ces deux équations et ajoutant, on a [(i +9 cos^ i) sin x+B cos i sin ! cos j?p=sin^ t-f- qô sin t cos x sin (i + x).

Nous pouvons négliger dans le calcul les termes en S^\ en effet, la vitesse de la lumière étant prise pour unité, l'aberration est une

quantité très- petite; 6^ sera par conséquent de l'ordre des ^^ de l'aberration, c'est-à-dire tout à fait inappréciable. H viendra ainsi successivement

sin^x-j- a ô cost sin 0? sin (t+a?)=sin't-|-Qdsintcosj?sin(t-Hx),

sin^ a; — a 9 sin (i -f- x) sin (t — a?) = sin^ t ,

sin^ x—^9 (sin^ x — sin^ i) = sin- 1 ,

(sin*a?--sin^i)(i — ad) = o,

Donc , dans ce cas encore , l'angle apparent d'incidence est égal à l'angle apparent de réflexion; mais ce résultat n'est plus rigoureux , comme dans le cas précédent : il est seulement approché à moins d'une quantité de l'ordre du carré de l'aberration, c'est-à-dire à

3^ de seconde près, quantité bien au-dessous des erreurs d'observation.

396. 3® Réflexion sur un miroir quelconque. — Si maintenant nous supposons à la surface réfléchissante un mouvement quelconque, nous pourrons décomposer ce mouvement en deux autres s'effectuant, l'un parallèlement au mouvement de la terre, l'autre parallèlement à la direction du rayon incident. Chacun de ces mouvements élémentaires n'ayant, comme nous l'avons vu, aucune influence sensible sur la réflexion, il en sera de même du mouvement résultant.

397. lléb««tl«B. — Nous allons maintenant considérer le eu (le la réfraction. Nous supposerons successivement la surface réfriojiente animée d'un mouvement parallèle ou perpendiculaire à la direction des rayons lumineux incidents. Nous démontrerons que dans chacun de ces deux cas la loi de Descartes se vérifie avec un degré d'approximation égal à celui que nous avons trouvé pour les lots de la réflexion : nous pourrons ensuite envisager le cas général.

398. 1° Cas où le mouvement de la terre eslparallèle à la dirtetim des rayons incidents. — Supposons que la surface réfringente MN se meuve parallèlement à la direction des rayons lumineux incidents, avec une vitesse 9, et de plus que le milieu extérieur soit le vide: prenons pour unité la vitesse de propagation de ta lumière dans le vide et représentons par u la vitesse de propagation dans le milieu réfringent. Considérons les rayons incidents dans le milieu réfringent et examinons les phénomènes à l'émergence. Soit AG (6g. a&3) la position de la surface réfringente; au bout de l'unité de tenips cette surface sera venue en A'C, de sorte que AA'= CC'= 6. Par le point A menons un plan normal à )a direction des rayons incidents, et soit SB le ravon qui met un temps égal à l'unité pour aller de ce

plan à la surface réfringente dans sa nouvelle po- .<^ition au bout de l'unité de temps. On voit que les deux ravons SA et SB rencontrent la surface réfringente à des époques séparées par un intervalle de temps égal à l'unité. Pour avoir la direction du rayon réfracté correspondant à SA, il faut donc, du point A comme centre, avec un rayon égal à u, puisque le milieu extérieur est le vide, décrire une circonférence, mener par le point C une tangente à cette circonférence, et joindre te point de contact D au point A; on a aijisi la direction

absolue AD du rayon réfracté; la direction apparente sera A'D; l'angle apparent d'incidence est ici égal à l'angle absolu d'incidence, puisque le mouvement s'effectue parallèlement à la direction des rayons incidents. Soit r cet angle ; désignons par I l'angle absolu de réfraction et par x l'angle apparent : nous aurons dans le triangle DAA'

f. sin A'DA

^~sinDA'A'

A'nA = x-I, DA'A = a?-r,

donc

/. sin(j?— I)

sm [x—P]

Pour éliminer I, cherchons une deuxième relation; à cet effet, prolongeons DC jusqu'à sa rencontre avec AC en E. On a, dans le triangle rectangle ADE,

AD-i = AEsinI, AE = AC + CE;

dans le triangle CG'E , on a

CE CE sin CC E ce e ""sinCEC'

CEC=1, ~r+CC'E + I«7r,

d'où

CC'E = î + r-I;

CE-?^^iIf^, AC--^.

sm I sm r

La longueur BC, plus la longueur CC qui est égale à 9, sont parcourues par la lumière pendant l'unité de temps. Pour exprimer BG en fonction de la vitesse de la lumière , il faut faire intervenir le principe de Fresnel. La vitesse de propagation de la lumière dans je miliçii QÙ se trouvent les points B et C çst u; mais l'éther est

698 LEÇONS SUR l.'OPTIQUt:.

entratnë avec une certaine vitesse qui vient s'ajouter à la vite» Or, la densité de l'éther dans le vide étant i , sa densité dai milieu réfringent sera -j. et la vitesse avec laquelle l'éther sera

traîné aura pour valeur = 6(1 —a'}; la lumière ma:

donc avec une vitesse égale à u + d[i — «'), et, comme elle un temps égal à l'unité pour aller de B en C, on a

d'où

B(;-ii(.

[)ar suite.

AC-ïi

donc