RÉFRACTIONS ASTRONOMIQUES

lill. Réiiraction des rayons lumineux par l'atmospliè

— Nous parlerons d'abord de la réfraction des rayons lumineux à travers les couches d'air qui constituent l'atmosphère terrestre. La question comprend deux parties, suivant que l'on considère la lumière comme venant d'un astre, c'est-à-dire d'un point situé hors de l'atmosphère, ou bien comme émanant d'un point de l'atmosphère elle-même.

La première question est la plus simple : en effet , les rayons se réfractent dans ce cas graduellement » assez faiblement et d'une ma-

iiière régulière. Dans le second cas, au contraire, les rayons traversent les couches voisines de la terre, dans lesquelles la densité de l'air varie fort irrégulièrement. On ne peut résoudre complètement ces deux problèmes, même le premier, parce qu'on manque de données sur la constitution de Talmosphère.

AI 2. Réfraetioii Mitroiioiiili|ue« — Connaissant les indications du thermomètre et du baromètre, on cherche une relation théorique entre la direction des rayons qui arrivent à l'œil et la direction qu'avaient ces rayons avant la réfraction. Cette relation contient des constantes qu'il faut déterminer empiriquement.

Pour trouver cette relation, on suppose que la constitution de l'atmosphère est symétrique autour de la verticale. Ce cas se rencontre souvent, c'est à peu près l'état moyen de l'atmosphère. Il arrive cependant quelquefois que cet état est loin d'être réalisé; mais alors les observations astronomiques n'offrent plus rien de certain. Admettons donc que tout soit symétrique autour de la verticale , ou, ce qui revient au même, par rapport au centre de la terre, c'està-dire que l'atmosphère soit composée de couches sphériques concentriques. Cette hypothèse n'est pas absolument exacte, car les différentes parties de chaque couche sont très-inégalement échauffées par le soleil; mais si l'on imagine une calotte atmosphérique limitée par l'horizon sensible, on y pourra considérer l'hypothèse précédente comme suffisamment exacte. D'ailleurs la réfraction est nulle au zénith et va toujours en croissant à mesure qu'on s'en écarte, et cela pour deux raisons : d'abord, le rayon lumineux rencontre des couches de plus en plus denses en se dirigeant vers la surface de la terre; il se rapproche donc constamment de la normale; de plus, le rayon traverse une épaisseur de chaque couche d'autant plus grande qu'il se présente plus obliquement; la somme totale des réfractions augmente donc de plus en plus.

Soient M (fig. nSg) un point de la surface de la terre, MN la verticale , S'MN ^ z la distance zénithale apparente d'un astre dont les rayons arrivent suivant la direction SM ; la distance zéni* thaïe vraie est sensiblement l'angle SKN = Z. Rigoureusement, c'est l'angle SiMX; mais si Tastrc est assez éloigné, MS peut être considéré

718 LEÇONS SUR L'OPirQUE.

comme parallèle à KS. La différence Z — z entre la distance zénïtliale vraie et la distance lénitbale apparente mesure l'effet de h réfraction. On pourra poser Z~2= Az=/(î), la fonction /(z) dépendant de plusieurs paramètres qui varient eux-mêmes avec i'élil de l'atmosphère qu'il faut déterminer et qui dépendent aussi de ceflaines constantes. Pour évalu<?r ces consliinles, on mesure la hauteur méridienne d'un astre circompolaire en observant ses calminatioDs inférieure et supérieure, et l'on prend la demi-somme des deux ob-

servations. S'il n'y avait pas de réfraction, on aurait ainsi fa hauteur du pôle, et l'on devrait trouver la même valeur en opérant de la même manière avec toutes les étoiles circumpolaires. Or l'eipérience prouve que toutes les valeurs trouvées sont dîlTérenles les unes des autres : c'est un effet des réfractions' diverses. Les distances zénithales vraies sont donc, pour une étoile, à ses deux culminalions, z + àz, z' + ^'z; la demi-somme est ^ (î-^;')-|- '- {Az + Ù,'z). qui représente la distance zénithale du pôle. Mais on peut trouver cette distance en remarquant que, plus les étoiles se rapprochent du pôle, plus les différences de cuimination , et par suite celles de réfraction , diminuent; pour l'étoile polaire, par exemple, elles sont presque nulles: on peut donc avoir ainsi la vraie distance zénithale du pôle. On observe alors la demi-somme des réfractions pour des points

également éloignés du pôle et on les compare avec les hauteui*s théoriques, ce qui permet de déterminer les constantes entrant dans la formule. Nous allons voir qu'il n y en a en réalité qu'une seule, qui porte le nom particulier de constante de la réfraction.

il 3. Équatloii de la trajectoire du rayon lumineux. —

Cherchons d'abord l'équation de la trajectoire du rayon lumineux qui traverse l'atmosphère. Soit I (fig. 960) un point quelconque de cette courbe : supposons la terre exactement sphérique et joignons son centre 0 au point I; posons 01 = R, NOI=V. Considérons un point F très-voisin du point I et décrivons du point 0 comme centre, avec 10 pour rayon, une circonférence qui coupe OF en P. Nous aurons IP=— lUV, et, d'autre part, dans le triangle IPr, IP = rP tang r. Or rP = - JR; donc IP = -(/R tang F. Mais l'angle en F est formé par la direction du rayon lumineux avec la normale à la surface limite d'une couche de densité uniforme; cet angle peut être considéré comme égal à l'angle en I ou t; donc IP = -rfRtangt= -RrfV, d'où

tang* = R;^^.

On ne peut admettre l'égalité des angles en I et en F qu'autant que ces deux points sont infiniment voisins; mais supposons que l'atmosphère soit composée de couches d'inégales densités et d'épaisseurs finies, alors la ligne IF sera une ligne droite dont la dimension no sera plus infiniment petite, et il faudra tenir compte des quantités que nous avons négligées.

Soient UL^ et a les inverses de la vitesse de la lumière dans la n*^* et la (n+ t)**"' couche, il est facile d'établir la relation à laquelle l'angle t doit satisfaire. On a sint,//. = sinr.fA , relation dans laquelle r, = FIO; d'autre part, le triangle IFO donne

sinr, ^ sint,^, R-4.1 *^"

On déduit de là la valeur de sin r.; on aura, en la substituant dans

Verdit, IV. — Conféreiirps de physique. ^6

7i() i.in.ioss si:r i;npTiguK.

r(-i|iiatiniJ |)r(.'fi'ili>iil<>,

M.H„^„ = - jç ^

ou

lt,,fj, sin(,,^= H n^ siiii

Si celle rolntiftii psI vraie en {lassaiit de la h'™* à la [ii 4 elle a lioi) eiilro deiiv cotirlips i|uelc(iiii|iieN; donc le distance de la surface d'une couche au rentre de la l verse de la vitesse de la lumière dam celte couche el de l'angle d'inridencc est conslani; on a donc Rftsini l'indice de réfraclion de la couche par rapport ou vi minalion df a ne pr<^'senle aucune dilEculfat; en effet ( = :: R est le rayon a de la terre; [i est une donnée robscrvalioii : nous la désignerons par fi„: elle dépend do la pression el de la lei)i|)éralui'o. el elle est connue par les expërieacps de Biot et d'Ai-dgo. On a donc ff;i„sin:»-a; d'ailleurs, de RfAsinî'<^a

on lire tanfit == ,;?; -v=^;' el. ("n remplaçant a »ar sa valeur, on a

rtu. siii:

lani! I ; , -:

donc IVipialioii de la Irajecloiie csl

Si l'on siivail coninient t* dépend rie R. eu evprlnianl ^ en fonction de R. ou |>ourrait intégrer: mais cette intégration ofTre peu d'intérêt, puisque la (pianlité (pi'il fi'a|{il de déterminer est l« différence Z — r.

& 1 A . Hecherclte de la ««leur dv la réfraction. — Pour la

trouver, prolongeons la Iiingenteau point I (fig. a 6 i) jusqu'au point Q. oîi elle rencontre la normale en M: l'anfjle IQN^Ç est relut qu'il s'agit de déterminer: or, dans le triangle \()0. nn a C= V + i',

METKOKOLOdlK OI>TK'l K. "21

(l'oi'i l'on di'iluil dZ = -(l\ + (li. Il s'îipit i\o livniior \mv ux pression di,' dl^, car la sommo des diffi'iviitielius d^ est |irécis(;[iii>iit égale à 'A — z dont nous cherchons la vuleur. A ret nlTct, revenons A ré(|uation Rf/sini = a. Différonliuns cei(c écjualion et divisons (ont par R^sint, nous aurons

M fi ''"tongi"" "• d'nuire |>art, nous avons H;^j^^tDng.:

iloiif-

<l'0ll l'.UI lil'l>

f " et, cil i'i-iii|ilii[-,'iiil (/\ I //; I ;ir r.'ll.' valeur.

OU encore

Si l'on connaissait fx en fonction do K, t/ft seniit connu on fonction di' dH et Ijin pourrait ralcuh'r l'inléyrale | rfÇ. ipii est la correction clierchée Z- r.

("est ici que la solution du prohlt'-me commence ù devenir hypo-

lli<'-li(|ue. Ij' rapport „ est assez peu différent de l'unité: on peut

/i2 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

le désigner par i — s, s étant petit et positif. Il vient alors

Nous pouvons écrire le dénominateur de la manière suivante :

i^i^oV/— — sin2z + (2» — #^)sin*z,

et, en ne considérant que la partie qui est sous le radical « on peat lui ajouter cos^c+ sin'^z — i ; elle deviendra alors

et Ton aura

(i —s) sin 2 dfx

<fK =

fi 1 /ros^ : — f 1 — — j j + (2.V — .ç*) sin* z

Pour établir une relation entre fx et R, il est commode de passer par l'intermédiaire de la densité; or, on sait par l'hypothèse de Newton et les expériences de Biot et Arago qu'on a |u*— i=cp, p étant la densité; donc

par suite.

udfÀ = - dpj --'=—, — - — T'

Comme on le voit, on n'introduit encore jusqu'ici rien d'hypothétique, et l'on aura

— (i —s) sin : ^-

rfç= ' ^'p

i /cos* : — ( 1 — ) + ( 'i-v— -^M sin* :

V \ i-»-''pJ

— (i — .ïjsin * -"^ -