MU
On |)eut maintenant inté{;rer farilemenl cette éi|ualion; en effet. bi Ton pose
sin : ,
j'cquation précédente devient
KdiV
Pour déterniiner la constanlr k, on a
tliv
sMi : I -îa,
•j " •!/;/— I -ja,
rroù il résulte ([ue
Iw
L'intégrale de cette^ expression est
^=^— - arcsin «r + c.
^ un— I
La \aleur de la conslanle c b'obhent par rintégralion enlfe le? limites p=--- o et p^ p„.
On a, pour p - o.
»r ( I — jfl, ) " sin :,
d, pour p-^c.,.,
w = sin :.
(iomnie la différentielle (tZ est toujours négative, nous prendrons en sens inverse la différence des deux valeurs de l'intégrale pour avoir une expression positive, et nous aurons finalement
|</Ç- Z- :--A: -^^^y^l? -arcsin [^^^ •?«,) ' sinrjj-
416. Formule de ttimpiioii. — On peut donner une autre forme à cette expression, car on a successivement
arcsin f 1 - !>a,J ' sine --=: -- (-îiw — j ) A: f i - -«a,) " sinr
-sin z — {*\m i ) A: •
En ne tenant pas compte de l'origine, on pourra écrire
M sin :■ = sin (z — \Az).
Cette formule, donnée par Simpson, peut servir d'une manière suiiisamment exacte jusqu'à 8o degrés, c'est-à-dire tant qu'on est au delà de i q degrés au-dessus de l'horizon. Introduisons la réfraclion horizontale h; pour cela faisons 2=90 degrés. Nous aurons
M = cos N/i , donc
cos iN7î sin : -^ sin- (z — i\ At).
Comme on ne peut obtenir directemimt la réfraction horizontale A. celle dernière formule renferme en réalité deux constantes à dëter-
mmer.
âl7. Formule de Bradley. — Brndley a aussi donné une formule qui peut se déduire de celle (pie nous venons d'indiquer,
M sin z = sin (z — NA:).
Ajoutons et retranchons sin:; départ et d'autre, nous aurons
(i +M)sin:= a sin (z Az) cos- Ac,
( i - - M ) sin z=*2 cos (- — - A: j sin - Az ,
et, en divisant ces deux équations membre à membre.
En introduisant des constantes qui n'ont aucun rapport avec M et N, on peut donner à cette formule la forme suivante :
tang aAz = (3 tang (2; — a A:).
Telle est la formule do Bradloy; si a Ai est très-petit, on peut poser aA2 = jS tang (c — a A:) et obtenir la valeur de A: par approximations successives. On néglige d'abord aAz par rapport à z dans le second membre: on a ainsi une première valeur de Az,
A: = ^tangc;
on substitue cette valeur approchée dans le second membre, [>our en avoir une plus exacte. Cette formule ne peut servir que jusqu'à l'incidence de 60 degrés environ; mais, comme les distances zénithales comprises dans ces limites sont celhîs que l'on observe le plus fréquemment, on fait souvent usage de cette formule.
h\S. Formule de Ii»pliiee« — Passons maintenant aux for-
mules de Laplace et Bessel. Nous avons trouvé (Â14) l'équation
— a, 1 — .Osin 2 -i-
1 — 2a, [ I — — ) i /cos*r — aa, {» — -) -»-(a5— **)5in*z dans laquelle nous avons posé
2a,-- — - — et \—s=n
i-+-<^po
Nous allons exprimer toutes ces quantités au moyen d'une des variables; or les variables sont de deux sortes. Si l'on avait la relation entre p et la distance R au centre de la terre, on pourrait résoudre le problème en intégr^int soit d'une manière finie, soit par un développement en série. On ne connaît pas cette relation; mais supposons que la température soit invariable, la relation entre p et s est alors facile à établir.
Considérons une colonne d'air cylindrique et verticale, ayant )our base l'unité de surface. L'air de cette colonne sera en équiibre dans les mêmes conditions qu'une masse fluide, lorsqu'une tranche quelconque sera en équilibre sous l'action -des forces qui sollicitent ses deux faces. Or une tranche supporte de bas en haut la pression atmosphérique —p, de haut en bas la pression p+dp (i^ étant négatif). Soient p la densité de la tranche, g-^ l'intensité de la pesanteur à la surface de la terre, R la distance de la base inférieure de la tranche considérée au centre de la terre, on a une troisième force agissant de haut en bas sur la base inférieure : c'est le poids
de la couche d'air d'épaisseur rfR, lequel est égal à g^^ j^p^R. Dans
le cas de ré([uilibre, on aura donc
~-p+p + dp+go\^ipdR=o.
d'où
Or on a, d'après la loi de Mariotte,
728 LEÇO.VS Slilï r.OmQlE.
d'où l'on dfidnil
En substituant, on Irouvi
pur coiiséqueiil, t-
Il illlé};i'iilll
Si Ton
lall H -
■tl. 011
obtif
-Ct
'ai-
d'oii
et enfin
ï.li.p''«- "«''li
Posuns ^„ '^ll^J' f '-'tail 1*"'' *.')n(ié(|uent la liauteur d'uue col alniospliériqup l'M'rçaiit I» piv.ssion p^: la frirmule se simplifie p| l'on a
(iette forniulv est inevactc. car lit lenipéintui-u n'est pas la u à toute hnutenr. Laplace el surlout Biol nul cherché des rela entre la trnipéi'atiire et la hauteur: ils ont utilisé pour cela lei servalions faites par Gay-Lussac dan^ son ascension aéroslatîqi par de Hnmboldl dans ses voyages »ur di- hautes montagnes; ii n'y a pas (-rand avantage à eniploypi- les Torinules parabuli
MÉTEOROLOCilE OPTIQUE. 729
qu'on déduil de ces observations, et on est toujours conduit, en définitive, à des inodiiications de constantes.
f{\{), Vormule de BeMiel. — Il est plus simple d'opérer comme Ta fait Bessel , et de déterminer les constantes qui compcns*»nl les erreurs provenant de la théorie. Posons en conséquence
[| (Ml
dp r "^^ I . 9 " ^'^
En faisant ces substitutions dans la formule, il vient
ly *i { » — * ' jS*' si n : ds
rtw - — ' " : :. — '— — ^ "'iz^
I — e j V cos- : — u a, V I — *' / -h ('«« — s^ ] si n- :
Le facteur e^- aa, f » — — j est toujours assez petit, car i — ^ est
toujours moindre que l'unité: il varie de i à i — *mj; or, on peut toujours remplacer dans !me intégration un facteur (|ui varie peu par la moyenne de ses valeurs extrêmes, (/expression différentielle cessera d'être exacte, mais cela ne fait rien pour l'inté^jration.
Comme on ne peut intégrer J^ sous forme finie, nous allons développer en série; nous ordonnerons le radical suivant les puissances de «, qui (îst une quantité très-pctit<» puisque jt diffère peu de l'unité et que l'on a ît = i /»; et, si nous remarquons que .^ sin^-^c
peut être considéré comme très-petit \mr ra|)port aux autres termes, nous auroi^
icf a,j8c sin :ds
(i — e) Lcos'x — 2a,\i— c /-h^ssïn^zy
a^pe iiinzsds a,pc sin*:jf*(/.v
Réduisons les deux derniers termes au même dénominateur et nous aurons dans le développement pour second terme
(i— e) L^^os*-: — 2a, Vi-fî J -\- 2s sïn* z y
Ce second terme contient la première» et la deuxième puissance de s au numérateur: on peut le négliger; en effet, pour c = qo. ce qui lui donne la plus grande valeur possible, il devient
-/S. r ( -/SA]
(i-e) [2s-2a^ \i-e jy
8 étant très-j)etit, (i — e"""^ j développé en série se réduira sensiblement à son premier terme -—(Ss, et du reste il est dans tous les cas plus petit cpie (3s. L'expression devient donc
a,/5<^ sds\s—'2a^fis) a^l3\/se ds\l—2a^|3r
Si l'on intègre entre zéro et Tinfini, on aura un terme beaucoup lus grand que celui que Ton cherche. La constante a^ est connue; a constante j8 est également connue, c'est-à-dire qu'en supposant les réfractions représentées par le premier terme de la formule on
détermine la constante j3; on trouve alors — pour l'intégration entre
0 et oo. (le terme étant tout à fait négligeable, nous nous bornerons au premier terme de la valeur de rfÇ qu'il faut intégrer entre 8=0 et la valeur de s cpii correspond aux dernières linvtes de l'atmosphère. Mais il est beaucoup plus commode d'intégrer depuis 8 = 0 jusqu'à .î=œ, seulement il faudra retrancher de l'intégrale ainsi obtenue la valeur de l'intégrale prise entre la valeur de s qui correspond à la limite supérieure de l'atmosphère et l'infini. Cette correction pourra s'effectuer par la détermination de la constante j8, sur laquelle portent toutes les erreurs.
MÉTÉOROLOGIE OPTiQLE. 7;M
Pour simplifier le dénominateur, posons 8=8 r^- :
la (juantité sous le radical devient alors cos^z+a^'sin^z; le numérateur peut s'écrire —a^sinzde^^^ ^ et on peut développer «""' suivant les puissances de 8, et par suite suivant celles de s'. En substituant dans la valeur de ^, on arrive à lu formule suivante:
(i —e) (cos*z-h2ssin*zj
sinr \ i.2.sm*:* '
Il faut maintenant intégrer chacune de ces expressions entre les limites de 8\ o etoo; il est facile de voir que toutes ces intégrales
e it. En* effet, les intégrales sont de la forme
se suivante :
oo ,, .. -"iS.
J.'sin : e
" (cos*:-i-25'sin':y
que Ton peut représenter généralement par i/*?/3 — p-» >f'(w) étant
une fonction inconnue. On pourra exprimer la valeur totale de la réfraction au moyen de 4'( m), car on a
c'est ainsi que Ton a construit des tables pour la réfraction.
On met pour jS la valeur convenable; en considérant les étoiles
liH LKÇONS SIJIl i;OPÏIOI K.
<*iironi|)olairos, on ohtiont In voloiir de ^ qui correspond à un étnt
atmosphérique donné. BevSsel a posé iS = ^ri «• / et j8 dépendant
de l'élat des couches atmosphériques dans les parties inférieures de Tatraosphère. Ceci est encore tout à fait empirique; mais par certaines hypothèses sur j8 on parvient à représenter assez bien l'ensemble des observations.
