IT

où p représente la distance du point lumineux P au sommet A de la surface sphérique MN,y/ la distance au même point de l'intersection n de l'axe et des rayons réfractés tels rpie Rflll. w l'indice de réfraction, K le rayon de la surface. La ligure montre que le foyer est virtuel lorsque // est positif; c'est en effet le prolongement du rayon réfracté qui \ient couper l'axe en II. A cause du défaut de symétrie de la formule, on ne peut conserver aux points P.IIIp nom de foyers conjugués en attachant à ces mots le même sens que dans la théorie des miroirs: mais on peut leur attribuer la signification suivante. Concevons dans le milieu le plus réfringent uns)> lème de rayons tels, (|ue prolongés ils passent en II : ces rayons réfractés iront passer par le point P d'après le principp du reionr des rayons; de cette manière, Il et P peuvent être dits foyers conjugués; effectivement, pour appliquer ù ce c^s la fonnule prudente, il faudra changer R en — R, « en -^p en —p' et p' en — ^,

et alors la formule restera la même. Mais il faut se garder de croire que cette dénomination signifie qu'en plaçant le point lumineux en n le prolongement des rayons réfractés passera en P: il n*en est rien.

11 est intéressant de rechercher dans cjuel cas les rayons réfnirirt provenant de rayons incidents |)arallèles à l'axe sont convergents.

INSTHLMtNTS DOPTKJLt;. 8fi7

»Si Ton fail p --. uji a

Tf Ile es! la (iihlaiicc au sommet A du point de concours des rayons.

Si y est |)osilif, ce fojer |)rinci|>al est viiiuel et en conséquence les rayons réfractés sont divergents. Or/ est positif lorsque R et n - 1 sont de même signe; lorsque ces quantités sont positives, on est dans ie cas où nous nous plaçons généralement ^ c'est-à-dire dans le cas de rayons arrivant du milieu le moins réfringent sur une surface concave: lorsque ces quantités sont négatives, il s'agit de rayons passant du milieu le plus réfringent dans le milieu le moins réfringent, la surface de séparation étant convexe vers le premier.

Si au contraire / est négatif, le foyer principal est réel, et les rayons réfractés sont convergents : c'est ce qui arrive dans les deux cas oii Ton a

R <I 0 avec n — i !> o et R '^2> o avec n — t

Dans le premier cas, les rayons passent du milieu le moins réfringent dans le milieu le plus réfringent, et la surface de séparation est convexe vers le premier. Dans le second cas, les rayons lumineux partent du milieu le plus réfringent et tombent sur une surface concave.

Ces considérations sont utiles dans la théorie de l'œil, qui n'est pas à proprement parler une lentille, mais plutôt un système de surfaces séparant des milieux dont la réfringence n'est j)as tout à fail la même.

^l96. liéfirACitoM à travers un milieu limité par deum ■urliAees 0pliériq[ue«« — Supposons maintenant que le second milieu soit limité, du côté oii nous l'avons supposé indéfini, par une seconde surface M'X (fig. 3oi), sphérique comme la première, de même axe AX et assez rapprochée pour que Ton puisse négliger l'épaisseur de la lentille (jue l'on réalise entre ces deux surfaces. Appelons cr la distance focale des rayons centraux, en supposant un instant le second niilieu indéfini de l'autre côté de la première

868 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

surface M\; nous avons vu ([ue, si les rayons émanent du point P.

où le signe do cr rûsulle Av ceux tin j) H <)e K. Considérons maiot»nanl les rayons comnip émanant du point U de Tsixe détermine pir

la distance v , et tombant sur la seconde surface : soit p' la distaiCB de A au point V ou les rayons centraux réfractés reDContrent Taxe, at soit R' le rayon de la seconde surface. On aura, d'après la formule précédente,

équation qui, combiner- avec la première, donne entre pelp' la relation suivante :

'T~(''- Ot^-è')"/'

Tellcest la fonuulu des lentilles, formule générale si l'on se rappelle les conventions faites sur les signes.

^97. Iientlllea cvnvcrccnMs et dlvei^ccntea* — Celte formule va nous permettre de distinguer immédiatement les leatillv en deux classes : lentilles convergentes, qui poor;>= oc dooneat /<Zo, el lentilles divergentes, qui dans le mi^me cas donnent /l>i).

IINSTBUMENTS D'OPTIQUE. 869

On suppose ici n ^ i ; mais si Ton avait ft<C i , les Icnlilles convergentes dans l'hypolhèse de n> i deviendraient divergentes, et vice versa; ainsi une lentille d'eau sera convergente dans l'air, el une lentille d'air limitée par les mêmes surfaces sera divergente dans l'eau.

Mais revenons au cas le plus habituel, n^ i; pour que/soit négatif, et par suite la lentille convergente, il faut que l'on ait

condition qui donne, pour R^ o, les limites suivantes pour R' : R >■ R' >■ o, et qui , dans le cas de R < o, fournit encore les sui-

vantes : R' > 0, el R' <C 0 avec la restriction R' > R en valeur absolue; on obtient ainsi (fig. Soo) les lentilles concave-convexe k centre épais Cj, plan-convexe C, et biconvexe C,. L'e\amen des ras divers fournis par la rondilioii

ferait tout aussi facilement trouver les différentes sortes de lentilles divei^ntes, savoir : les lentilles concave-c«nvexe k centre mince D^, plan-concave D.j et biconcave D,.

498. Wmjmrm es^|iic«é* d«a ■«■Mlles. — Lorsque l'on considère une quelconque de ces lentilles, le point lumineux et son foyer réel ou virtuel peuvent encore ^tre compris sous le nom de foyers conjugués ; mais , afin de ne point s'égarer sur le sens de celte

870 Li;(,;ONS SLK I/OPTIQUE.

(!\|)rii.ssioii , il Tiiul i'ciiicir([itor iivcc soin le ili-faiit de symélrie en^

cL // de la foniiiili-

Si l'on V chciM^e p on y>', il fiiiil. jioiir ijuVIIp ne change pas, rtmplacer entoro yi' par — fi. Donr, si nn faisceau conique tombant rar une lentille jiruduil son foyer d'un certain c6td et à une cRtaint distance de celle-ci, c'est de l'antre côté, et à la même dûfaoce. au'on devra placer un second faisceau lumineux pour avoir an loyer situé par rapport à la lentille dans une position symétrique decdk du sommet du premier faisceau. Par exemple, dans le cas iTaiK lentille l)icouve\e AB (11)'. 3o3), dire que les points P. P' sont de»

foyers conjufjués siguilie qu'en |iliii;i>rit le point lumineux en P on a un fuvf>r en I'': '-t qu'il faudrait in^llre le point lumineux cav, ^ïitn'lriqui' de P', si l'on \oul!iit avoir un foyer en w', point svmé- Irique de P. Dans la lentille bicoiicjne, on aurait une autre disposition dos foyers, mais avec le.- niâmes relations entre eux, en ayant ■'•jjard aux sijjiies.

^\i'^. AbvrrntÉsn d'une- nipfiiec réfrlBCCate. — Chttrliiins miiintonanl avec pins de riffueur en quels points viennent r«ioinlror l'axp d'une surface réfriiiffenle les différents rayons éuRnr> d'une source P (li(j. .'(06) située sur cet axe, cl réfracli^s en lliïf^ point* de lit surface. Pour la symétrie de.s raisonnements et desfi- ([ures, niius supposerons qu'il s'agit d'une surface concave vers le luilicn le moins réfrin|ronI, fl que le |ininl P i;sl situé dans ce nii-

I^STHLMKMS llOI'TigiiK. «71

lieu. Ap])i'l(ni> a r<ni[{lc (II- l'ii\<' jnyc li< iioniiali- an |iunil d'iinidenco H; p et p' les rli^tniires de ce point à la source lumineuse V

et à son fover II. La conNidératioii des triangles GHP, CHII fournit leii relations

Mm" p— g ainr p' — R

sin OL p ' sin a p' '

relations nui transforment la suivante,

On a d'ailleurs sans dillicullé le.'« valeurs de p et p' en fonrtioii de K.p./}' el de rordoiim-e y du point d'incidence H,

p'-^- 1V^ + ,// Wy-^iWi,,- Hln.sa.

ou, en reniHi-(|nant i{ue la projection Kcosa de Il() sur l'iive esl t^jjale à V It- ■ (/■- .

f K-' ■+,,,■ R)--.,i/ H)vR' f.

872 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

et, après substitution, on arrive à la relation définitive entièrement rigoureuse.

PnK „ Pj2^

v/2l\i+p«- apR+ i (p-;R)7r^ V^âR* + '/^rr ajR'R +. % (p*-r «) yff-/

Cette équation pourra se résoudre; elle çst du f)euiièwe ilgi^ en ^ et ^'^. MfiiK il n'y a pas d*iqtérét à la considérer 4'UQ9 miBière générale : le seul cas utile est celui oh l'oiiverture angulaire eit (lelite.

nii|[wliiirfi — Supposons y asses petit relativement à R poar qu'on

pqtwe négliger ^1 • On aura V^R^ — j*«R "" a* ^* f ^Wtteïl ^

simplifiera beaucoup :

On peut encore la simplifier en remarquant que ^ est de l'ordre

y* de ^ et par conséquent négligeable; alors, en extrayant la racine

carrée par approximation, on a

et en effectuant les divisions au même degré d'approximation ,

'T'[-f.o-;)]-"Vn-$(?-B)]-

Divisons par R et réunissons les termes qui ne contiennent ni R niy2 :

f\ yt 1 n-i rr/t(p'-R)/i i\ (p-R)/| i^yi \^f p' p~ R '^aL p*R \p' R/ pM\ Vp'"RyJ*

L'expression comprise entre crochets peut s'écrire

p'U''"Ry " p\v R/ '

et op peut la simplifier par la considération suivante : ~'«t- né dif-

fèrenl des valeurs -, et - relatives aux rayons centraux que de quantités de l'ordre de y^, d'après la formule même, puisqu'on néglige y^; on peut donc mettre ces dernières quantités à la place des premières; l'équation qui les fournit est, comme on sait,

Après cette substitution, l'équation (t) devient

qui représente la loi de la réfraction opérée sur une surface sphé^ rique concave , d'ouverture angulaire très-petite,

501. AberraUen lon^ltuilliiale. — On voit, en appliquant cette formule aux rayons marginaux et la comparant à la précédente qui convient aux rayons centraux, que l'aberration longitudinale dépend du terme en y^. Pour trouver comment elle varie, désignons-la par Ap' et traitons cette quantité comme un infiniment

petit; partant de la valeur — qui correspond aux rayons centraux.

on a

.n Ip

Pour p''^ on mettra une expression indépendante de y^; l'aberration longitudinale A/ varie donc proportionnellement à A -,i qui n'est

autre chose que le terme en y^ de l'équation (a); de plus, elle est, toutes choses égales d'ailleurs , de signe contraire à ce terme ; ainsi , suivant que le coefficient de y^ est positif ou négatif, le foyer des rayons marginaux est plus près ou plus loin de la surface réfringente que le foyer des rayons centraux. La discussion des différents cas qui peuvent se présenter n'offre d'ailleurs ni difficultés ni grand intérêt.

87A LEÇONS SIR LOPTIQUK.