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point lui!
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INSTRUMK^TS DOPTIQUK. 879
tinn pour que l'ellipse dont Téquation pst
soit cnmpriNf pnrmi relies que représenle IVqualion u^np'. Oh a ex
et en appelant d la dîstanre à l'axe Ov (lîg. 3oS) de la dmtle l)D'
dont il a été question, et qui n'est autre que la directrice,
Il faut donc que, pour tous les points de IVIlipse tels qup I, on ait
</ — .ï = (( f a — - r J - Celte «équation ne peut avoir lieu dans ces conditions que si l'on a
d*oii
Par conséquent, » étant donné ainsi que le foyer F, il y a encore une infinitif d'ellipses ayant toutes même excentricité et détenninanl au^-
Vdion, fV. — ConfêrenïM «le pbjraique. Ti6
«80 i.KÇO.SS SUI LOPTIQUK.
lanl de surfaces jvtViiifrL-rilcs aplaiir>li(|iie!> pour un point luniineui >itUH à rinlini. Loisquc lu .siirracn loiinin '•a 4-oiira\ ili5 %«rs cp point. ro <)iii est li- ras de In fijfuri' priVi-doiilr , coniim* riii(li(|ui> le sigw de II. le fover virlin'l p>! cniiii i]v> foviTs di' IVIlipse (|iiî est le plus l'Ioigné de la îiiirfai'e.
Si l'on vnulail n-revinr le> nixms luiiiiiieiix sur la convexité de la surface, on aurait alors un foxer réel, et l'on voit raeilcuienl que re point coïnciderait avec le foter de relii|)M> le pItiR éloigné de II surface. Dans loni ceci on sii|)|io.se. romnie il a été dit plus haut, l'indice de réfrartion h plus fjrand qu» Tanilé.
Ces olisenatioiiN fourniNiienl t|iMl(|ura iniliutîom miles pour b I unï.lruclioii tleii leiitilles. Si pn effet on re(oil d« njoat tels que SI I fig. 3 0 (| ) . parallèle! h l'axe . sur la face eoii*«ie f m «riKpsoïde de
révolution cunveiiablenieiit choisi, tous cch rauiits conv ei'geronl ver» le lover K le plus éloigné: et si, pour deuxième surface delà lentille. on prend une surlace ^pllél'il|lll■ \I\ iitaul pour centre ce foyer môme, les rayons cornrr[;eroiil («us en ce point.
Ainsi, rn anjjuientanl riin\enal>leiiienl I» courliiire du rôté^cunvexe d'une lentille convexe-concaxe m surfaces spliérïques, et touruiinl CL' coté rendu ellipli(|ue veis les ravons luinineu\, un n-alisen un système parfaitement aj)lauéli(|ue: on pourra loujoiiiii arriver à ce ré.sullat par la méthode des retouches locales. Dans ce cas oa a, comme on le voit, nn fover réel. Mais si c'est ta surface concave
l\sriîrMK-MS DOI'TIOI K. »8l
ilo la Ifiililli- «in'oii n-iid <'llipli(|iii- cl i|ii'«ii lounic \ci-s la sotiri'i' liiininpiiiti'. h tacr l'nntcv n'stniil spht'riqun. oit a un lojer i]iil(|u<', mais uriilcl : les lauiris si>nilili'iiL à it'iir snrlii', t'mannr Ao rc |ioml (-ommn (i'iiri n-iilrc,
(ies i-piiiai'i|iii's. si ou les iiii-l i>ii {)i'a(ii|U(* au'<- l'nidi» des retouches Incalps, [xiurriinl runiliiin' un Jour à îles rt-sulliits iTunc ]rrau(l<^ im{>orIalU'l^
')i)(t. InHurner 4r l>pnlM«enr 4«-k lentilirs. — AI)(iriioiis maiiilnnant la tht'orlp complôtft des lentilles. Et d'aluird clieiTlions l'influence de l'ctpaisscur, en faisant usage des formules approcliée>, (ju'on emploie d'ordinaire. Afin de n'avoir (pie des ipumlités positives, consjdt'rons un ménisque divergent (pii reçoit sur sa face con-
cave les ravons émanés d'un point P (tig. ^iiu) situé sur l'axe à une dislance p du point A. (les ratons, réfraclé-^ par la preiuière surface, concourent en un l'o)er virtuel H. dont la dislance or au point A es| donnée par l'éipialion
l'I » ^ Tl'-
(iofisidérons nmiulenapil II cotuirie un puini luinineui; réel pour la seconde surface; il en e>t situé à une distance ■a' = -a + li, en désignant par h l'épaisseur de la lentille. Soit p' la distance !\ la m^ine surface du fover virtuel P', où concourenl finalement les
rayons, on h
/ tir' IV
Pour arriver à la relation (|ui lie /;, y/ et A, il faut éliminera entre les deux équations précédentes, après avoir remplacé tr' par
tar tff-hh
13' + //. Mais comme // est petit, on |)eut substituer à — ^, // // /* ni \\\ I* nh
On a ainsi
. . \ n II— i h/i
(^) P'~;S= ÎT — :5i"
£n additionnant membre à membre les équations (t) et (si), il vient
Enfin, en remplaçant «r par sa valeur
on a
^-i = (" 0(î»-îr)-î(J+V)*-
Il faudrait y remplacer encore y/ par y/ — A pour (|uc les distance* l'uKsent comptées foules \\ partir de A. Cette formule montre que rinfluence de l'épaisseur n'est |)as la même, quelle que soit la fan* tournée vers la source lumineuse, résultat que n'indiquait en aucune façon la théoricî ordinaire, où l'on négli^je entièrement ré|)aisseur des lentilles. Lorsque» les rayons incidents sont parallèles, cette formule so sim[)lirie: car si ^;=-co. on a
,,'-^("-0U-ïr)-!7('"ir)'-
Enfin, si R est infini en même temps que f^ rinfluence de Té-
paisseur est nulle. Ce résultat est évident a priori , car, dans une lentille plan-concave qui reçoit le faisceau lumineux par la face plane, les rayons incidents pénètrent normalement dans la lentille et ne sont réfractés (|u'à la seconde surface.
507. Aherratlan d*<uie IntUlle. — Le calcul de l'influence de l'épaisseur des lentilles sur la position des foyers est beaucoup plus long lorsqu'on tient compte de l'aberration de sphéricité. Nous
avons déjà vu qu'en appelant p la distance du point lumineux P (tig. 3i i) au sommet A d'une surface sphérique concave, et o la distance au même point du foyer n où concourent les rayons réfractés à une distance y de l'axe, on a la formule
Il i II— I ii—tfi ii+i\ /i i\*
Considérons te point it, situé à une distance V^iir-|-A de la
seconde surface, comme un point lumineux réel, et cherchons la
distance à celle même surface du foyer P' conjugué de w; désignons
cette distance par^ et posons P'K = p elirH = p'. Kn Imaginant que
la lumière vienne de l'extérieur, suivant KP', et se réfracte en K
suivant kC. les calculs deviennent tout à fait symétriques de ceux
qu'on a faits précédemment; ainsi on a
. ,.,j I,, . - R — p' . ,., . -.,, IV— tt' ,„
smC Kl' =sini = — r sin L , smL K7r=smr = — — sni C ; P P
par suite, d'après la loi de Liescartes,
R'-p' R'-tt' p "^'' p' ■
SH'j LKÇONS SI n I/OPTIOIK.
i,p\\p «équation, rcr\\p sous la loriin*
TT W I // l\
devionl foui à fail analofriic à la siii\an(r.
n-W tsr-h
qui uoiis a s(»rM do poini t\r (|r'|»aii dans uoIpp |)reiiiior ralcul; il nous suflira dùiu\ |)onr aiTÎvrr à la ndalion qui iii* w' ei p\ de remplacer, dans «'tdlr qui nxisli» ♦*nln' y* el m. Iivs loltn^si /;, tff. fJ. «,
par tir', y/. \\\ ; on a ainsi
I I II , « Il M j / I \\'- r,
Dans ceftr rqualion, on |m'uI nirlln' if^ au Iî«mi do y-, caria différence de ces (|uaiililés rsl néjflijjeable dans le cas où nous nous plaçons, puisqu'il s'a{{il de rayons niaq^inaux peu inclinés sur Taxe: d'ailleurs rordorniée (vxtrenie des deux surfaces est la même dans les lentilles de verre, et fj- — //- esl alors tout à fait insignifiant. Il faut en outre, dans cette (équation, remplacer ty' pir tir-\'h: seulement, dans le lerme en y-, nous ferons simplement tsr'^^tsr, car A est d*» l'ordre de la dillérence dos sinus verses des anjdes que fait Paxeaver les rayons marfj[inau\ ; // est dono de l'ordre do y-, et consi^quemnient néglifjeable dans le multiplicatour do y-, Ainsi, après avoir chassé les dénominateurs <*( mis l'éipiation sous la forme
l> xff' W
on ronq)lacorn, dans l<' preuiier moud)ro, . par la valeur trouvéf plus haut
Il h
llf.
/( iVî
trr
CT
Tsr
Tff
Il p
Il II - 1 ,
\\\ nw ! \^
INSTHUMK.NTS DM)I»TIQUK.
Mciintenanl, il ne reste plus (|n7i éliminer cr entre rette équation et ré(|uation analofjiie déjà établie pour la première surface. Ajoutons-les membre à membn» e( nous aurons
Le mullipliraleur de y- a pour valeur
Il \ iir
LVH
ll-\- 1 //tar
Il 'r J\ / I
//tar
tSf
ÏV
Comnje on le voit, il rontienl «'uron^isr: mais on lirera de l'équafion - — rp un»» valeur sultisannnent approrbée de tsr j)Our la subs-
Vf
pry^""'^
tituer dans l'expression précédente ; en ayant aussi égard à la relation
j^ — jwj^ dont le degré d'exactitude est le même, les facteurs qui contiennent ts pourront s'écrire
I n-h \ j \ Il \\ 1 / II- n* - \ n-h i i i\
"h ^ \ij~^ir) l?\\v F;' 'T"'^R'""R'y
Il -+- I imr
Ml I I ,
HT
En consécjuenre, bi valeur de y devient
Il -■ I •*.ii^
/» y V/>~iw [w p: ) [p: \v) \
t^i la relation délinitive qui li<* y/ et /> est
^^{ii- I)
ir)
Il I
Il ^ I ^ / 1
