II' - H

Ces quantités doivent demeurer infiniment petites du premier ordre;

il faut donc que /-^ ^ ..soient du premier ordre.

513. Réfraction p«r un ii«mlire qfuelaanque de «iirimmem «pliéri^ue*. — Passons au cas oii le rayon lumineux, toujours peu incliné sur l'axe, rencontre une série de m surfaces sphériques ayant toutes le même axe. Soient A,,, A^, A2, ..., A^ les abscisses des sommets; C^, Ci, Cj, ..., C^ celles des centres de courbure; w^, m, , w^, ..., n^ les indices de réfraction des milieux qui précèdent les surfaces caractérisées par les indices 0, 1, i^, ..., m; et soit enfin n^^, l'indice de réfraction du milieu qui suit la jw''^ surface.

Le rayon incident a pour équation

H98 LKÇO.NS SI H LOPTIQUK.

Pour rararlérisor l<* rayon réfract<^ une fois, on a cr.ipres ce qui |)r«^mle

Ti a V . '*! — "•

• =,7(>--.A..)+f.,. y, =y„ + -;__: f,. et. |)our siinplilier les notations, nous poserons

♦Ml augniontant tous les indices d'un nombre égal d\inilés pour avoir «, . Wo. . . . , //„: les valeurs de jS, , y^ prennent ainsi la forme

/Si -- ,5„ + //„ A, . > , =- ; „ -h 1/^ h^.

Pour passiM* du rayon réfracté une fois au rayon réfraclé deux lois, il faut donner aux dernières écpiatlons la forme cpravaient celles du ra\on incident. aHn que les calculs soient symétriques: le rayon réfracté une fois contiendra donc dans ses équations la coordonnée A| du deuxième sonunel. et par e\enq)le Tune d'elles sera

A, est un(* nouvelle quantité qu'cui détermine en idenlitianl cett^ nouvelle forme d'équalicm avec la première.

d'où

en |)osîint, |»oin' simplifier Técriture.

Les Fonctions /.j,/.t, ... s'obtiennent en augmentant convenablement les indices. En résumé, le rayon réfracté une fois a ses équations de la forme de celles du rayon incident, et, de mi^nie que l'une

pst déteriuinée en fonction de

de niènic nous déterminerons l'équation correspondante du rayon réfracté deux fois, en fonction de

Le troisième rayon réfracté dépend pareillement de 6.^ et /S3; le quatrième de b^ et jS^; enfin le m + i''*"', (|ui est le rayon émergenL dépend de h^ et jS^^» dont les valeurs sont

Nous ne considérons qu'une des équations de chaque rayon, on passerait à l'autre en changeant y fh^ j8 en z, c, y\

Toutes les relations précédentes sont linéaires; ainsi les constantes qui entrent dans les équations des divers rayons sont des fonctions linéaires do ft„ et j8„; elles ont de plus avec les constantes initiales Kifio des relations remarquables qui permettent de considérer les^ coefficients de b^^^^ comme les numérateurs et les dénominateurs des réduites d'une fraction continue. (Considérons, en effet, la suite des termes :

Premier rayon.

Deuxième rayon,

'', = k + /, (/3„ + nX) = A„ (1+ «.<, ) + /3„<, , /3, = ^„ + uX +«,(' + «.'. ) K + «1 '. iS,

Troisième rayon ,

Ih -*„!•+ M„<i -<- 'j l«„ 4- «, (1 4- «.«, )ji 4- /S„ [t, + U(i + «, /,)], A>-

Les coellicients de b^ et de /3„ suivent la loi qui lie les numérateurs

et les dénominateurs des termes des réduites d'une fraction continue : chacun d'eux est égal à Tantéprécédent, augmenté du produit du précédent par une quantité nouvelle; par exemple,. dans b^^ on voit que le coefficient de b^ est égal à celui de />« dans l'expression de i] plus le produit d'une quantité nouvelle (3 par le coefficient de b^ dans l'expression de jS^; la même relation existe entre les coefIicient^ de ]S„. Si donc l'on calcule les réduites de la fraction continue

leurs numérateurs sont les coefficients de b^ dans les expressions des constantes 6,, jS.^, i.^i 1^^^ ^^c. ; leurs dénominateurs sont les coefficients de j8o dans les mêmes expressions. On remarquera que pour déterminer le m + 1""" rayon réfracta, c'est-à-dire le rayon émergent, il faudra calculer la *jm— 1""' et la am'*"' réduites; en conséquence, si

a k nous les désignons par ? et t» la différence gl — hk sera égale à -|- i,

et cela d'après cette propriété qu'ont deux réduites consécutives

g?^) ' gl^rm de donner une expression A^"^ B^*"^*^ — B^"^ A^*"*"*^ qui

égale + 1 si /« + 1 est pair, et ~ t si /« + 1 est impair. Ainsi le rayon émergent est déterminé par les équations

dont les coefficients sont donnés par

et

avec la relation

gl — hk^i.

Pour abréger l'écriture, nous marquerons d'un seul accent les coefficients qui entrent dans les équations du rayon émergent; ainsi posons

il vient alors

d'où l'on déduit, en multipliant la première par /puis par ^, l'autre par h puis par g, et retranchant,

Nous avons ainsi déterminé complètement le rayon émergent. Avant de le comparer au rayon incident, nous ferons encore cette remarque sur toutes les réduites, et en particulier sur y, A, A, /, c'est que ces quantités sont des fonctions de u^, /j, t/^, (^^^^ '39 •••« qui ne changent pas si l'on renverse l'ordre de celles-ci, si par exemple on change u^ en i^^ti en ti^, U| en (^^ ^t réciproquement.

51 A. Tliterie générale des fmjmrm et des tauiS^** —

Revenons maintenant au rayon incident. Prenons sur lui ou sur son prolongement au delà de la première surface un point arbitraire dont les coordonnées sont Ç, ly, Ç : ces valeurs satisfont, par conséquent, aux équations du rayon incident, et l'on a

, = f-"(Ç-A,) + ft., Ç = J-(e-A.)+c..

 cause de leur symétrie , considérons seulement la première de ces équations et remplaçons-y /S^ et h^ par leurs valeurs en fonction de b\ /3' : il viendra

ou

902 LEÇONS SUR LOPTIQLE.

ce qui (lonnr une nouvelle expression de b\

(Jette expression, substituée dans les équations du rayon émergeot, y introduit ainsi les coordonnées d'un point du rayon incident: on pourra donc cliercher si à ce point ne correspond pas quelque autre point reniarcpiable. Effectuons cette substitution : Tune des équations du ravon émer^jent prendra la forme suivante.

=^^^ \' '-j-i'^^zJi} fri^J ' i 'h.^

On a de même pour la seconde équation

De là cette conséfjuence : ces équations sont satisfaites si on annule la parenthèse pour déterminer x^ et qu'on égale y et r aux termes qui restent; le point dont les coordonnées s'obtiennent de cette manière est situé sur le rayon émergent, et, en appelant Ç\ ti\ Ç se> coordonnées, on a

fi,. »7

nX

nJ-k[Z- V.

(ionmie on le voit, ces trois coordonnées sont fonctions de g^ /i, il, /. c'est-à-dire des positions et de la nature des milieux réfringenls: puis de ^, 17. Ç. qui déterminent un point du rayon incident. Mais elles son! enlièremenf iiidépendaiites de 4o» ^o» 4"' déterminent le point d'incidence sur la première surface. Donc tout ravon passant rin point (^. >;,Ç), d renconlranl les surfaces réfringentes dans If

vuisiiiage de Taxe, vient passer au point (f '. >?', Ç'). Pour arriver à ce résultat, on néglige les (|uantités de l'ordre du sin' de l'angle du rayon incident avec Taxe. 11 est donc démontré d'une manière trèsgénérale, au degré d'approximation qu'on vient d'indiquer, que les rayons passant en un point situé ou non sur l'axe, et qu'on [leul appeler loyer, vont passer à un deuxième foyer, après réfraction sur un sjslème de surfaces sphériques ayant mémo axe. Le premier foyer est réel si l'on a Ç - A^ <C o, et virtuel dans le cas de Z — A„> o : le deuxième est réel pour ?'— A|^>o et virtuel pourÇ' A^<;o. Considérons les situations relatives de ces deux foyers : la comparaison de leurs abscisses n'offre rien de remarquable, mais on a |)our les antres coordonnées

relations qui indiquent que les projections du point lumineux et de son foyer sur le plan yz sont situées sur une ligne droite passant par l'origine, que |)ar conséquent le point lumineux et son foyer sont dans un même plan avec l'axe des x. Comme, d'autre part^ ^' ne dépend (|ue de la valeur de ^, les points lumineux situés dans un plan perpendiculaire à l'axe ont leurs images dans un même plan aussi perpendiculaire à l'axe. Et de toutes ces remarques il résulte avec évidence que l'image d'un objet plan est plane et semblable à cet objet.

Le rapport des dimensions linéaires de l'image et de l'objet s'appelle grossissement; comme on le voit, sa valeur est ici

Si cette expression est positive, Ç', î;', Ç' ont les mêmes .signes c|ue 5, »;, Ç, et par suite l'image est droite; si l'expression est négative, l'image est renversée.

On peut donner a cette ex|)ression du grossissement une autre forme, en ayant égard à l'identité g^/ - M= i, car on a

/iJ-/.-(Ç-A,.)

904 LEÇONS SUR LOPTIQUE.

d'où

«■ '"nJ-k{^-Krn.l-k(Ç-A,)'

et en ajoutant g de part et d'autre , après avoir tout multiplie par k,

{gl-kli)n^ ««

Le grossissement peut donc s'exprimer par

Les formules précédentes sont parfaitement exactes « aux termes près de l'ordre de l'aberration de sphéricité. Mais les constantes g, hy k, ly qui y entrent, les rendent peu propres h la discussion des circonstances intéressantes au point de vue pratique; il importe donc de les transformer, et ceci nous conduira à une théorie de la formation des images incomparablement plus exacte que la théorie ordinaire, sans cesser pour cela d'être aussi simple.

515. Ptoiis et pointa prlnHpaax. — D'abord, pour le cas d'une surface réfringente uniqut;, nous avons vu que si Tune des projections du rayon incident est représentée par

la projection correspondante du rayon réfracté a pour équation

où j8' est déterminé par l'équation jS' = j8 + k r i; A — C est ^1

et de signe contraire au rayon de courbure de la surface, si elle tourne sa convexité vers les rayons lumineux; il est de même signe (|ue ce rayon , si la surface tourne sa concavité vers les rayons lumineux. Or, en examinant ces équations, on peut dire qu'à ce degré d'ap[>roximation le rayon incident et le rayon réfracté coupent en

un même point le plan mené perpendiculairement à l'axe par le sommet de la surface réfringente : ceci nous donne un point du rayon réfracté, et il suffira d'en chercher un second pour le déterminer complètement.

Si Ton possédait un plan doué de la Même propriété, lorsque le rayon traverse un grand nombre de surfaces réfringentes , on conçoit qu'il serait d'une grande utilité pour la construction du rayon réfracté; cherchons donc s'il n'existerait pas un pareil plan.

L'une des équations du rayon incident sur la première surface est, comme on l'a vu,

l'équation correspondante du rayon émergent est, d'autre part.

Si, au lieu d'égaler les valeurs de j^ correspondant a une même abscisse x, il nous est plus commode de le faire pour des abscisses distinctes, il est clair que le résultat sera le même, car nous aurons deux plans rencontrés h la même distance de l'axe, l'un par le rayon incident, l'autre par le rayon émergent; de l'un des points connu, on passera à l'autre en menant une parallèle à l'axe. Soient donc E. E' deux valeurs spéciales de x, telles qu'on ait

Pour que les plans correspondant aux abscisses E, Ë' jouent le rôle du plan dont on a parlé dans le cas d'une surface unique, il faut que l'équation précédente ait lieu pour tous les rayons incidents: elle doit donc être satisfaite quels que soient b^ et jS^, ce qui exige que les coefficients de ces quantités soient nuls : en les égalant à zéro, nous aurons deux équations du premier degré qui détermineront Eet E'. On ne peut, comme dans le cas d'une seule surface, avoir un plan unique, car les équations qui en donneraient l'abscisse sont en général incompatibles. On a donc

006 LEÇONS SUR LOPTIQUE.