I.NSTHli.MENTS D OPTIQLH:. ÎMS

système réfringent primifif. Or, il est facile de voir <|in'

i ■ IS„^k\\ IS^ I

K r' K-.r h;i„ Bn„ n„

Donc, la leiililh' inliniinenl mince que Ton devra placer en E pour obtenir Ins rhan{;ements de direclion d(»s rayons (t(»vra avoir x pour distance focalf». Pour revenir aux convcnlionsdc (jauss sur les signes, cette distance focale doit s'écru'e — x' et alors la lentille est con-

vergente lorsque celte quantité — V* ^st positive; elle est divergente si cette quantité est négative. La considération de cette lentille nous servira dans le cas où ii'f=Mo» q^^ est celui où nous nous plaçons, exactement comme la surface réfringente nous servait dans un cas plus général ; nous mènerons donc par les points d'incidence sur le premier plan principal des parallèles à l'axe, jusqu'à la rencontre du deuxième plan principal ; puis, par les points de rencontre, nous mènerons des parallèles aux rayons déviés par la lentille unique; nous aurons ainsi une construction facile des rayons déviés par un système de milieux et de surfaces. Ceci revient, comme on le voit, H effectuer d'abord la déviation des rayons, puis à opérer une translation de ceux-ci d'une quantité égale à la distance des deux plans principaux.

520. SlmpIlilcatiQii de la constmciion du rmjon émerireiit* — La construction géométrique peut être simplifiée d'une manière remarquable dans le cas où les milieux extrêmes sont identiques. En effet, nous venons de voir que par le point que l'on connaît déjà du rayon émergent, c'est-à-dire le point (3). il faut

mener une droite dont la projection sur le plan xy ait pour coeffi-

iS -4- AB cient d'inclinaison ' j ' ' Or. que l'on joigne le point (i) ^fig. 3i5j

au premier point principal E : la droite ainsi déterminée a pour coefficient d'inclinaison de sa projection sur le plan r// le rapport de l'ordonnée de (i) à la distance EF; c'est donc

, LEÇONS SUR LOPTIQUK.

p (If lii i-elatidii F- E = T> l'expression ^irécAtente »p -; donc la droite (i) E est parallèle au rayoD énter^ i;cnl. Ainsi, dans le cas où le dernier milieu est identique au pr^ ■nier, on trarera la droite (i) K, et par le point (3) on lui mènera iin<> parallMe.

(•etlf ronstnii-liuiL ii<iiit> itioiitrc ijin; tout ravon incident quî ]tass<> au prpinlpr point principal correspond à un rayon t^mer^ent qui

ri|. 3. s.

passe au dtMi\ièiiii> poiiil principal et tpii est parallèle au rayon incident : on retrouve ici les rayuns sans d(^vintion de la théorie ordinaire des lentilles. Nous arrivons donc îi cette proposition : Dans un système de milieux ii'-fringenls dont le premier et le dernier sont Identiques, il existe deux points tels que tout rayon inrîdenl passant MU premier correspond à un rayon l'merfjent qui lui est parallèle et i|ui passe au deuxièim' poinl. Dans lu cas où l'on n'a qu'une lentille, le rayon réfracté dans rinlérieitr passe par Ip centre optique. 521. Helatl«ii entre l'ob|ct cl rim«c«. — Les relations l'-tiihlies précédermueiil Tont conuîiflre les distances des plans focaui aux plans principaux: un a

Oes distances s'appellent ditlnucet faraiet du tytièmf. La première distance locale esl l'excès de l'abscisse du premier plan principal sur celle du premier plan focal: lu deuxième est l'excès de l'abscisse du deuxième plan focal sur celle du deuxième plan jtrinripal. Les distances focales sont égales si n„=ii-

L'introduction des distances focales dans les formules les rapprocbe singulièrement îles formules de ta théorie élémentaire.

IISSTRUMENTS D'OPTIQUE. 915

Nous coniiiiencerons par nous servir de ces distances focales pour simplitier l'expression du grossissement du système et la relation des positions de l'objet et de l'image.

On a vu que si 4^, >? , Ç désignent les coordonnées d'un point où passe le rayon incident, Ip rayon émergent passe en un point dont les coordonnées Ç'. >?', K' J^ont données par les ndations

, îîi?__

iiJ-h[^-K)

En rompla^'ant A„ et A', coordonnées des sommets des surfaces extrêmes, par leurs valeurs en fonction de celles des plans principaux, savoir : '

ces coordonnées prennent la forme

''phk-gUg)-ç,[Z-n

Ces fortnuie^, d'une siinplicilc remarquable, peruieltent d'obtenir

sous une foriiie coininode hi relation qui lie Ç\ K,\ ^ et E. On h en effet la valeur de Ç' - E', et par suite de l'inverse

et, on nu]lti|)liant tout par//',

Telle e.^t lu relation qui lie les dislances de Timage et de i objet aux plans principaux. Dans le cas où w'=Wo» <*"^ devient

qui est tout aussi sinq)lc et inconqiarablenient plus exacte que la formule donn(5e par la tlirorie rlénH'nlain»

dont elle a du reste la forme. On voit que, si les plans principaui

coïncidaient, l'effet du système serait celui d'une lentille infiniment

mince dont -r-' serait la distance focale; or, on peut imaginer qu'ils

coïncident, puis transporter les rayons émergents, parallèlement, d'une quantité égale à la dislance des deux plans principaux, et Ton aura ainsi les rayons émergents dans leur vraie position. Cest une nouvelle démonstration de la construction que nous avons donnée de ces rayons par la considération d'une lentille inlinimeni mince.

Il existe des valeurs de Ç', v , Ç' en fonction des abscisses F. F.

des plans focaux et de la distance focale x ; rien n'est plus facile que

de les déduire des valeurs précédentes, en se reportant aux relations

E K 'S E' F'f':li /»

liNSTRUMKNTS UOPTIQUE. 917

U vient alors

IrV- çi

Considérons le cas où « -^«o cl posons — x=^^» ^ étant la distance focale de la lentille infiniment mince dont il vient d'être fjueslion. Nous avons vu qu'on a déjà la relation extrêmement simple

on a de plus, d'après les valeurs de Ç', tj\ ^' que nous venons de trouver.

Pt par suilo

Ce rapport est une expression tres-remarquable du grossissement : c'est le quotient de la distance focale par la distance du premier

foyer au point lumineux. On peut la comparer à l'expression -^^t^^

qui est une valeur bien moins exacte du grossissement dans la théorie élémentaire, et qui a la même forme que la précédente. Suivant

cpie — esl positif ou n/»galif, Timage est droite ou renversiM;. Enfin, on a

918 LKÇONS SLR l/OPTIQLE.

dont la discussion perniellra <lr trouver les relations de grandeur et de position (|u\hi recherche ordinairement dans la théorie élémentaire. a\ec une approxiinaticui indéterminée.

b^iH. Cas où den rayon» ineidento paralléleo étmmwgtmtL parallèlement. — Nous a\ons, dans ce qui précède, ramené la théorie duii système quelconque de lentilles au degré de simplicité de la théorie drs lentilles infiniment minces (|ue l'on considère habituellement dans les cours élémentaires. Toutefois, les calculs sur les(piels sont fondées les déductions ajiplicables aux instninienls d'optique souffrent une exception d'autant plus importante à si- {jnaler, (ju'elje est réalisée dans tous les instruments dressés pour un œil infiniment presbyte. Rn effet, les abscisses des points princi- |)au\ et des fojers deviennent infinies lorsque la fonction algébrique /i, entrant au dénominateur, est nulle: par conséquent nos conclusions ne sont |)lus applicables, et ce cas doit être étudié spécialement. IVabord, quand se présente-t-il?

Considérons le rayon incident dont une projection est repn»sentée par

♦»l le ra\on n^lVacté correspondant, dont la projection a pour é(|uation

Dans riiypotlièse L'-=^o, le coellicient de x est indépendant de A,: il reste le même pour tous les points oii jS^ est le même, (iorome ces rcMuarques s'appliquent à l'autre projection des rayons considérés, on voit (pie dans ce cas les rayons arrivant parallèlement à une» droite déterminée donnent des rayons émergents parallèles n une autre droite. Ce sont les systèmes ainsi combinés qui échappent à nos conclusions, et pour en indiquer un exemple il suffira de citer la lunette astronomique ajustée pour un œil infiniment presbyte: riinage des objets infiniment éloignés vient se faire au foyer principal de la première lentille, et l'observateur met l'oculaire à une

distance telle que les rayons provenant de cette iniaye sortent parallèlement à une direction donnée pour converger sur la rétine.

Mais cette exception est loin de constituer une lacune regrettable dans notre théorie des lentilles, car elle correspond précisément à des phénomènes d'une lelle simplicité qu'il est inutile de recourir à la considération des plans principaux. (Considérons en effet une des projections du rayon incident

et celle du rayon émergeni

dans lesquelles A„, A' sont les abscisses des sonmiets des surfaces extrêmes. Nous pouvons donner à cette dernière équation la forme suivante :

et pour cela il suflil de poser

ou bien

A'^^A'-Jn',

ou encore, à cause de la relation gl - hli= i,

ce qui définit la situation du point A''. Cela posé, nous pouvons déterminer le grossissement et construire les rayons réfractés.

D'abord, Ç, >;, Ç étant les coordonnées d'un point où passent des rayons incidents, tous les rayons émergents vont passer en un point ^\ v\ K\ t»t ceci d'après une démonstration indépendante de k; les valeurs ^\ v\ K' sont dans le cas actuel, où k= o,

^' â' ; ifjf- jy($-Ao) ' V y .Y

'JàO LEÇOiSS SUR LOPTIQUE.

Elles loMl VDir (fvidemnioiit inic k' jfrossisseiiienl '-" y =g «*'

iii<io|)i-iKluTit de f. Donc, dans im sy$lème de lenÉilIcs telles que

des rayons parallèles t-niorgcnt encore parallèlement. \e (p^ntinemail

lÎHéaire est indr>pend»nl de l;i dislaiice de l'olijet an système ré-

friiijfenl.

.')23. Psinl •culairv. — ItcniiirtpKiris (|ue si f^ A., c'e!tl-à- <\m- si li; point doiil on dierrlu- l'iinajrG esl sifné dans le plan (aiii;i!nt ail s')n)mel de la première sin'rai.'e, un »

Ainsi, le point A" (fljr. .'t if>) l'st riningre d'nn point silué au sommet de la première leiilille : c-'isl re point (pi'on prend pour centre de l'annean onilaife, et on l'appelle U' point oculaire. Il va nous servir Il lu fonslrnclion des ruvons n'frartés et à la détermination du i;iossissement angulaire.

En eiïet, supposons le point oculaire déterminé. L'image d'un petit objet situé dans le plan perpendieulaire à l'axe au point A, est une snrFare plane passant par lo point oculaire; mais comme on peut regarder tous les rayon^ incidents comme assujettis à couper le plan A. à une pelite dlslanre de l'axe, il est certain que KiR. .1.V. tous les rayons c'mei^eoU pute-

ninl par un |ioint de l'anneau oinlnire, et il suffira de détenataer ee point.

Soit donc uti rai on incident rencunlranl le plan A, en un point H, dont n, K sont les coordonnées; soit A" le point oculaire; le nfon émergent passera en un point M", dont les coordonnées «% C mmiI déterminées par les équations

ce dernier point M" est donc connu. La direction du rayon ciuei^nl

mSTBUMENTS D'OPTIQUE. 921

incideiil, un snit tguu celle du n\»n émergent esl délinie par

-^' -^' ou bien -% -'', ce rHvon «st d«nr comnlétemenl délernn g" 9" ■' '

mini-.

Ainsi, lorsqu'un l'iiisccau de ruyoïiN iiicideuls pfirailëles ù une droite donnée tombe sur un sjstènic réfrinnenl, im prend pour pliin des xy le plan délerinlné par l'axf du système el In direction du Isuscenu; ~ esl la tangente de l'anjjle de tes rayons aver l'ave, et, en supposant ipie les rayons viennent du bord extrême d'un ubjel dont l'aiilre boi-d est sur l'axe, c'est la [ini(;ente du diamètR' îipparenl de eet objet: les ravons émergents sont piirallèles à une autre direction qui fait avec l'axe un angle dont la tangente esl— 7°i ut ils vont former sur la n-tlne l'image du bord extrême de l'objet, l'autre étant sur le prolongement de l'axe. Le gros.sissement anguluire est donc / —.• Dans le cas oîi «'= h„. ipii se pi-ésente seul dans les Ins- Iruments usités, le diamètre ajiparenl de l'image est — °' et par ■<uile / est le grosslssenicnl angulaire.

5*2^. Clr«BalBBement d'iiwr lunette ■•tr*M«nil«tie. —

On a vu que g esl le j^russissemenl linéaire; or ( = -t donc le grossissement angulaire est l'inverse du grossissement hnéaîre. De

là le procédé connu pour mesurer / : on cherche le rapport des dimensions de l'anneau orulaim à celles de l'objet. Kn général. / est ce qu'on appelle le {^ossi.s.semcnt de l'appareil.

Il esl facil(^ de reconnaiire que le grossissenient liuéaire dans la lunetle astronomique est indépendant de la posîtiou de l'objet lumineux. Soient en effet M, M' (fig. 3 17) deux lentilles infinimeot minces dont F, /sont les distances focales, et qui sont situées à la distance 00'- F+/.

Soient p la distance de l'objet lumineux à la première lentille, et p la distance OF de l'imafje al3: on a

Le grossissement linéaire est

P P-f La dislance FO' de Timage à la deuxième lentille est

on a donc, en désignant par y;" la dislance à cette lentille de rimage \'B'.

et le grossissement linéaire par cette deuxième lentille est

Donc le grossissement total de la lunette est F

p-V h-p /)-K* £l^ r(p-F)-pF F'

(Jette expression ne contient pas p: donc le grossissement est indépendant de la distance de l'objet à la lunette.

Le signe — signifie que, si la première image est réelle, Ih

deuxième est virtuelh*.

525. Cm d'une lentille unique. — Revenons maintenant à Jios fornmles générales et appliquons-les au cas d'une lentille unique.

INSTHUMKNTS D'OPTÏQIK. 92:5

afin d'en tirer des formules simples qui seront utiles dans l'étude des instruments d'optique. Nous supposerons le premier et le dernier milieu identiques; ce n'est guère que dans la théorie de l'œil qu'il y a lieu de faire usage des formules dans toute leur généralité. Dans le cas d'une seule lentille, la fraction continue qu'il faut considérer a la forme très-simple

Les quantités g, h^k^ L qui définissent les plans principaux et les plans focaux, sont les numérateurs et les dénominateurs des deux réduites de cette fraction, et sont égales à

et dans ces expressions ti^, Ui^ t^ ont le sens que voici :

On a en général % = \ -c'^ ^^^^ désignerons par w l'indice de

réfraction du verre, et comme les milieux extrêmes sont l'air, on a /io== 1 ; A. et (]„ sont les abscisses du sommet et du centre de courbure de la première surface; nous poserons A^- 0^=^ — R, en comptant R comme positif dans le sens des abscisses croissantes. On a, d'après ces conventions,

La valeur de /, est - *— ^; désignons par e l'épaisseur A, - A,, qui

est toujours positive, il viendra

Soit R' le rayon de la deuxième surface; l'expression générale

se réduira ici à

Ht =-

'Mfi LEÇONS SUR l/OPTIQLE.

Substituons ces \aleurs de u„, u, , f, dans les expressions di* g, /r, /r, /: nous aurons

ir — 1 . •. ... - 1

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