II

i; ' IV i\

Les points principaux sont déterminés par

Il — I

w — 1 II

II— \ n — i n

On aurait sans dilHculté les foyei's par les formules

On peut donc, par les constructions indiquées, trouver l'effet d'une lentille avec beaucoup de précision; les formules dont on fera usage sont d'ailleurs aussi simples que celles qui sont relatives s^ une lentille infiniment mince.

INSTRUMENTS DOPTIQUi:. 9â5

Supposer une lentille infiniment mince, c'est supposer que les deux plans principaux se confondent en un seul; on s'écarte ainsi de la réalité d'une quantité que l'on peut apprécier, en quelque sorte, par la différence E' - E. Or

r. - Vj r- - • — ■—

ni II - i II

En effpcluant la division, on a approximalivemenl

^' ^^'^ *' il ir- W IV r

Dans le cas d'une lentille biconcave ou biconvexe, la somme

— ^^ est très-grande par rapport à -; le dernier terme est donc

négligeable, et l'on a sensiblement E' --E = e i fortiori \ù même

conclusion subsiste si Tun des rayons est infini. Mais, dans le cas d'un ménisque, il faut que les rayons soient assez différents pour qu'on puisse négliger le dernier terme.

Cherchons la position du centre optique. Les équations des projections d'un rayon incident et du rayon réfracté dans le verre, sur le plan des xy, sont, comme on l'a vu,

y- :jS(.r \) + //.

Supposons que le raNon incident passe au point principal :c -»-E. y =- 0 : on a alors

Tirant de là 6. pour le substituer dans l'équation du rayon réfracté, il vient

926 LEÇONS SÎ!H LOPTIQUR.

L'abscisse du point où il coupe l'axe des x est iodépeiidante de j3: elle ne dépend pas davantage de > ; donc tous les rayons qui passent au point principal se rëfractent suivant des directions qui se coupent toutes en un même point et émergent sans déviation. Ce point est le centre optique; Il ne jouit d'ailleurs d'aucune propriété utile dans une théorie oxcictc»: dans la théorie élémentaire, on prend ce point comme point principal el comme centre optique tout à la fois, car ces divers éléments se coniondenl.

526. Cas d'un s^sténie de lentilles. — Lorsqu'un système de lentilles constitue un instrument d'optique, au lieu de considérer les surfaces réfringentes en elles-mêmes, comme dans la théorie générale, on préfère définir chaque lentille par sa distance focale et ses points principaux.

Soient ^oî Çi- ^2' • • •• ^^^ distances focales d'une série de lentilles constituant un instrument d'optique; soient E^, 1^ les abscisses des points principaux de la première; Ej, Ij les abscisses de ceux de la seconde lentille, et ainsi de suite. Le rayon incident a pour équation de l'une de ses projections

Bo désignant l'ordonnée du point où ce rayon rencontre le premier plan princi|)al; on peut calculer celte fpiantité par les méthodes précédemment indiquées.

La projection correspondante du rayon h sa sortie de la lentille est, d'après les formules générales que nous avons établies,

ou, en introduisant la distance focale de la lentille.

r- (^o - -^^ B„) (r - IJ + B. . = /S, (.r - I.) + B„.

Ainsi cette équation, relative au rayon réfracté par la première lentille, est définie par les quantités

Bo=Bo. ^j=^^o-^-Bo.

liNSTRUMKNTS D'OPTIQUE. 927

et de plus elle représente une des projections du rayon incident sur la deuxième lentille; elle conduira donc h l'équation relative au rayon réfracté par la deuxième lentille si on lui donne la forme

(l'est ce que l'on peut toujours faire en posant

et alors la projection du rayon réfracté par la deuxième lentille a pour équation

//-^/3,(.r--l,) + Bp

Comme on le voit, elle est définie par les quantités Bj et jSj, dont les valeurs sont

De même le rayon émergent de la troisième lentille est caractérisé par les quantités B2 et jS,, qui ont des valeurs de la même forme que les précédentes,

et ainsi de suite. Donc, entre les constantes qui définissent les rayons réfractés par la suite des lentilles du système, existent des relations de même forme que celles qui ont servi à définir les rayons réfractés par une suite de surfaces séparant des milieux différents. On posera, d'après cela ,

et, en considérant la fraction continue

Mo H

on aura des réduites dont les numérateurs et les dénominateurs jouiront des mêmes propriétés, dans le système formé de lentilles,

Verdet, IV. — GoDfërences de physique. 69

928 LEÇONS SUR LOPTIOUK.

(jUf" cM'ux des réduites étudiées précédemment, dans un système formé de milieux différents séparés par des surfaces sphériqoes. Soient donc G, H, K, L les quantités analogues & f elles que nous avons désif^nées alors par g, A, k, /; ia même série de calculs démontrera que le rayon éni<»r{f(Mjl du système do lentilles se projette suivant une clroilo ayant pour «'équation

dans laquelle i' est l'absrisse du deuxième pian princiiHil «le ta dernière lentille, et B, jS' soni donnés parles relations

B' - GB„ + HA,. .3' kB„4-L)8..

On a toujoui*s

GL- Hk=i.

Ainsi, ridentilé de ces calculs et d(* ceux que nous avons effectué» prouve que dans tout système de lentilles il existe deux |>oints prin- ('ij>au\ dont les abscisses sont des fonctions des distances focales et des positions des points principaux de chaque lentille; la connaissance de ces points et des foyers caractérisera le système. On établirait, comme on Ta fait dans les calculs déjà cités, ipie les absci de ces quatre points sont : pour le premier point principal ,

pour le deuxième point principal,

pour le premier foyer,

l'-^lr^.

pour le deuxième loyer.

et — r serait la distance focale d'une lentille infiniment mince, produisant sur les rayons les mêmes déviations que le système considéré.

rNSTHUMKiNTS D OHTIQUK. 9i>i)

537. C^as particulier de deux lentilles. — Un eus particulier mérite d'être considéré plus en détail; c'est celui d'un système de deux lentilles. Nous désignerons, pour simplifier, les distances focales ^o5 ?i de ces lentilles p;ir 0 et ^'. Les valeurs do G, H, K, L sont pour ce cas

d'où Ton conclut que la distance locale est

l'abscisse du premier point principal

celle du second

(jCs expressions sont, comme on le voit, composées avec Ë, 1', ^, ^',

E'— I, comme les expressions correspondantes, relatives au cas d'une

lentille unitiue, le sont avec A^. A', ^

On peut enlin chercher, dans ce système de deux lentilles, la distance des deux points principaux; son expression est

ou, en effectuant la division approximativement, par la raison que E' I est très-petit par rapport à ^ + ^\

Cette expression se réduit, en négligeant le dernier terme, à

I — E +!' — £'. Donc la distance des deux points principaux d'un système de deux lentilles est égale, à très-peu près, a la somme dos distances des deux points principaux de chaque lentille.

528. DétermiiMti^B expértaientele des «•! •7«ténie optique. — Nous avons fait dépendre les propriétés d'un système o|)tique (juelronque des quatre expressions algébriques que nous avons appelées g^, A, A-, / ou G, H, K, L, suivant que le système est défini par les indices et les surfaces réfringentes ou par les points principaux et les distances focales des lentilles qui le composent. Ces quatre quantités se réduisent en réalité à trois seulement, car on a toujours gl — hk= i et GL — HK. = i . Donc tout système optique est connu , et Ton peut calculer son action sur des rayons quelconques, lorsqu'on a déterminé trois des constantes que nous avons définies: c'est maintenant de cette détermination que nous avons à nous occuper.

Les positions et les grandeurs relatives d'un objet et de son image dépendent de ces constantes; il est donc évident qu'il suffira de les déterminer dans trois expériences différentes, pour obtenir trois relations qui sufKront pour faire connaître les constantes que l'on cherche. On arrivera d'ailleurs, de celte façon, à des équations da premier degré très -faciles i\ résoudre.

Ainsi, soient F, F' les abscisses des deux foyers, et y la distance focale du système : nous supposerons que les milieux extrêmes sont les mêmes. Soient ?, Ç' les abscisses de l'objet et de son image; oo a entre ces quantités la relation

Or, prenons sur l'axe un point li\e h partir duquel on comptera les distances; soit I) son abscisse, et posons

La relation qui précède devient, après substitution,

Cette équation signifie qu'entre les distances d'un point quelconque

de Taxe à l'objet, à son image et aux foyers, on a la même relation qu'entre les distances comptées de l'origine. Dès lors une deuxième expérience donnera une équation de même forme,

et une troisième expérience donnera

Dans ce système de trois équations, rt, a\ a"^by b\ h" sont des quantités que l'on mesure; /), j,/ s'obtiennent en résolvant les équations. Pour avoir p et y, on élimine le terme du deuxième degré /?^ en

écrivant

on a de la sorte ^ et g au moyen de deux équations linéaires et sans aucune ambiguïté. Après quoi, l'une quelconque des trois équations précédentes détennine/"-^, et par conséquent/, au signe près; mais le signe est donné par la situation même de l'image dans les expériences. Ainsi, lorsque l'objet lumineux est très-éloigné, une image droite prouve que /est négatif; une image renversée correspond, au contraire, à une lentille convergente, et par suite /est positif.

Une fois^, q et /connus, on a par là même F, F', puis/ c'està-dire trois fonctions connues de g^k^l; on peut donc déterminer ces trois constantes.

Il est commode, pour la symétrie des équations, de prendre trois cas où les images de l'objet soient réelles; mais cela n'est pas indispensable, et, pour rendre les équations très-différentes les unes des autres, on peut parfaitement se servir d'images virtuelles. Pour cela, il suffit d'avoir un système optique tel qu'un microscope parfaitement connu, et de le placer sur l'axe de la lunette en une position telle que l'image virtuelle en question produise une image réelle sur les fils du réticule. Dans tous les cas, la condition à remplir est d'avoir trois équations assez différentes pour que l'incertitude des mesures n'influe pas sensiblement sur les résultats.

(lonnaissant/en {frandcur c»l en sijjne, on h aussiCdf k par TAjoalion

Onanf n fr, /, on los lire des (équations

dans lps(|uelles on conniiîl F, F' par les calculs préc«^denLs, k par requation ri-dessus, «H enfin A^, A' par des mesures faciles à effectuer, puis(ju<» ces (pianlités sont les abscisses des sommets de la [ir^Muiere et de la dernière surface. D'ailleurs n^ et h' sont égaux à i.

(i'esl ainsi qu'on délennine les coellicients dWi dépendent tou^ les effets d'un instrument d'optique.

Parmi l(;s dispositions que l'on peut donner aux trois exj)érience», il en est une cjui est tres-commode. On reçoit les rayons parallèles à l'axe sur le système donné, et ils convergent au deuxième foyer: puis on retourne le systènx» pour les faire converger au premierfoyer: on a ainsi F' et F. Une troisième expérience donne y*: on se place dans des conditions aussi différentes que possible des précédentes, et pour cela il suilit de rapprocher l'objet lumineux du système opticpie, autant (ju'on le |)eut sans cesM»r d'avoir une image réelle de l'autre coté. Dans une expérience ainsi faite, on mesure «, i, et ré(piation

donne /'>ans diHi<ulté.

5:29. Théorie de» mieroniétres astronoatiques. — Cette étude générale des instruments d'opti(|ue n'a pas une utilité qui soit lans tous les cas très-apparente. Mais elle est indispensable pour la solution générale d'un problème qui se présente souvent en astronomie, et dont Bessel et quelques autres astronomes n'avaient d(mné <pie des solutions parliculièros. (l'est à Gaiiss c|ue Ton en doit la solution {;énérale.

Dans les instrumt*nts astronomiques destiirés à des obsenration^

inicrométriques, par exemple à la mesure du diamètre apparent des planètes ou de la distance des étoiles doubles , l'observateur déplace deux lils tendus au foyer d'un oculaire positif jusqu'à ce qu'ils soient tangents aux bords de l'astre ou situés devant les étoiles; la distance des deux fils est connue avec une trè^grande précision , et c'est de là qu'on déduit le diamètre apparent de l'objet ou la distance angulaire des étoiles. Il sullit, dit-on généralement, de joindre le centre optique de l'objectif aux extrémités de l'image réelle de l'objet, et dans ce triangle l'angle au sommet est celui sous lequel on verrait l'objet du centre de l'objectif. Mais cette construction est inexacte, et nous avons démontré qu'il faut, par le premier point principal, mener des parallèles aux rayons lumineux qui partent des bords de l'objet; des parallèles à ces mêmes lignes, menées par le deuxième point principal, vont toucher les bords de l'image, dont on connaît la grandeur et la position; on peut, par conséquent, déterminer l'angle au sommet de ce triangle avec une grande précision.

On voit que l'incertitude de la première construction porte sur la hauteur du triangle dont l'image de l'objet est la base; avant que l'on connût la théorie de Gauss, on plaçait le sommet de ce triangle soit au centre optique, soit au sommet extérieur de la lentille ; l'erreur résultant de celte inexactitude est faible sans doute, mais trèssensible, et, pour en donner une idée, nous prendrons an exemple, en faisant abstraction des conditions d'achromatisme qui compliquent la recherche du deuxième point principal.

Soit un objectif non achromatique, limité par des surfaces sphériques convexes dont les rayons sont l'un et l'autre de *2 mètres; soit w-= !,."> son indice de réfraction. La position du deuxième point principal se déduit de la théorie des lentilles par la formule

La distance focnle (^ est s(*nsiblement égale à K, et nous pouvons négliger l'erreur en posant ^=^ i ; alors on a

9U LEÇONS SUR LOPTIQUE.

Telle esl la distance du point cherché au sommet extérieur de la lentille, car R est négatif. Cette distance e égale ~" 0 ^: le

deuxième point |)rincipal est donc situé au ^ de Tépaisseur de la

lentille. Si donc on a pris la distance du foyer à ia surface extérieure pour hauteur du triangle, on a fait sur cette hauteur une

erreur de « e: si Ton a pris le centre optique pour sommet, rerreur

est de 7: e. L'erreur relative dépend donc du rapport de Tépaisseur à la distance focale. Supposant l'épaisseur égale à t centimètre, on trouve une erreur de:; — ou de suivant qu'on admet Tune ou

l'autre de ces déterminations hypothétiques. Une telle erreur est faihle; cependant, sur une distance angulaire de 1800 secondes, qui esl environ celle des bords extrêmes du soleil, elle est de 3 secondes ou de 1 seconde -» et par conséquent excède de beaucoup

les limites des erreurs des mesures micrométriques. Il est donc illusoire de perfectionner le micromètre si on n'a pas aussi égard à la lentille; le perfectionnement apporté par Gauss à la théorie des lentilles a donc une importance de |)remier ordre.

On peut en dire autant à l'égard des héliomètres; dans ces lunettes, l'objectif a été scié en deux et on déplace les deux parties dans un plan perpendiculaire à l'axe, jusqu'à ce que les deux images que l'on obtient du même objet soient tangentes. La tangente du double du diamètre apparent est égale au rapport de la distance des deuxièmes points principaux des deux moitiés à la distance focale de Gauss. En appliquant à ce cas la théorie des lentilles infiniment minces, et se servant du centre optique, on commettrait des erreurs de l'ordre de c(?lles (jue nous venons de signaler.