Conditions de rachromatisnie dca objeoiifik

La théorie générale des lentilles donne des notions précises sur l'achromatisme des objectifs.

Proposons-nous de construire un objectif parfaitement achromalicjue, c'est-à-dire tel, que pour toute position de l'objet il n'y ail outre les images formées par les rayons de réfrangibilités ditTérentes

que des distances négligeables. Il faut pour cela queG,H,K,L soient indépendants des indices, ou bien aient les mêmes valeurs pour les indices des rayons que l'on veut réunir. Il est commode de considérer parmi ces quatre quantités les suivantes, G, H, K, fouettions de l'épaisseur de l'objectif et de la substance qui le compose. Or, il est évident que pour obtenir un achromatisme parfait il faut que ces fonctions restent constantes lorsque l'indice n éprouve un accroissement Aw; il faut donc que l'on ait

AG=o, AH = o, Ak=o,

AG, AH, AK désignant les variations des quantités G, H, K. En se bornant au premier terme de leur développement en fonction de An, on traite ces variations comme des différentielles du même ordre. Pour reconnaître ce que signifient jihysiquement ces conditions, rappelons qu'en désignant par (p et ^' les distances focales de deux lentilles, et par e la distance K' — i du premier point principal de la deuxième au deuxième point principal de la première, on a

e, (p, (p' sont des fonctions de l'indice de réfraction; on peut donc les affecter du signe A, et l'on écrit en conséquence

AG=^--^--i--^=o,

AH = Ae = o.

Il en résulte

équation absurde, car elle signifie que la distance focale d'une lentille unique est indépendante de l'indice de réfraction. Il est donc impossible d'obtenir un objectif achromatique pour toute distance de l'image.

Mais si l'on détermine une position de l'objet pour laquelle on veut une image achromatique, le problème est possible. Il suffit que l'abscisse Ç' de l'image ne varie pas avec w, c'est-à-dire que l'on ait

936 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

ol que de plus les dimensions transversales de rîmage soient avec relies de l'objet dans un rapport indépendant de «• ce qui s*exprinie [lar réquatioii

On n'a donc (jU(» deux conditions à remplir, au lieu de trois iju'aurait (vxigëes Tachromatisme absolu. De plus, la distance focale doit avoir une valeur assignée, ce <pii fciit une troisième équation à satisfaire; des quatre rayons de courbure des lentilles, un re.ste donc indéterminé: on en profite pour rendre l'aberration de sphéricité mini ma.

D'après cela, on voit que l'égalité des rayons des surfaces en coutact est une condition superflue, et, si on se l'impose, on se prive de la faculté de rendre l'aberration de sphéricité minima. Quant

aux conditions exprimées par AÇ'= o, A = o, la théorie permet

de les considérer comme d'égale importance.

Knfin l'épaisseur des lentilles n'est point arbitraire: on la réduit autant que possible, mais il faut avoir égard aux conditions de solidité et de permanence de l'instrument: il convient donc de rapprocher les lentilles qui s'achromatisent jusqu'à ce que la présence d'anneaux colorés indique qu'elles sont très-voisines : il faut éviter de les d«v former en les |)ressant Tune contre Taulre; leur distance est dans tous les cas négligeable. La pratique fait connaître l'épaisseur qui convient à chaque diamètre : ainsi une lentille de verre de i a centimètres de diamètre a 8 à to millimètres d'épaisseur centrale.

Le problème de l'achromatisme a autant de solutions particulières que l'instrument a d'objets spéciaux : des conditions différentes existent donc pour une lunette astronomique, pour un microscope, pour un objectif de chambre obscure photogra|)hique. Le premier de ces instruments n'achromatise que les rayons parallèles; le second convient pour les rayons émanés de points très-voisins du premier foyer; le troisième enfin n'est achromatique que pour les objets situés à une distance déterminée, et, s'il convient à des vues lointaines, il remplit d'autres conditions que l'objectif destiné à reproduire des images d'objets voisins, des portraits, par exenqde. En outre, dan>

tous les objectifs servant en pholojpraphie, rachroinatisnie doil porter sur les rayons violets et ultra-vioiets, et non sur ceux qui sont dépourvus d'action chimique: cette remarque, d'ailleurs, a été faîte depuis longtemps.

531. ConditloiHi d'adu^matiMiie de T^bjectif d^iine 1«nette astronomique. — (lomnie exemple des calculs à faire dans cha(|ue cas, indiquons les conditions d'achromatisme de robjectif d'une lunette astronomique. Il faut que les images d'objets trèséloignés produites par les deux espèces de rayons qne l'on veut achromatiser se fassent à égale distance de la lentille et aient une même largeur. La première condition signifie que la distance focale/

doil être indépendante de n: ainsi Af— o ; orf^ — ^'> donc AK -= o.

La seconde condition , savoir : que le grossissement doit être le même pour les deux couleurs, sera évidemment satisfaite si les seconds points principaux coïncident, car par ce point unique on ne pourra tracer qu'un seul angle ayant ses côtés parallèles aux rayons incidents extrêmes. Or l'abscisse du deuxième point principal du système

I — (' de deux lentilles est ï -\ — j^— • On aura donc

on bien

KAI'-A(U-o.

(iette condition, que l'on développera, jointe aux deux autres

AK=^o,

détermine trois des rayons de courbure. Le (|uatrième étant arbitraire, on en profilera pour rendre minima l'aberration de sphéricité.

Nous n'avons étudié l'aberration de sphéricité que dans le cas d'une seule lentille, mais il est facile d'en déterminer la valeur dans un système de rieiiv lentilles: rar il suffit de prendre le foyer des

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rayons marginaux de la première comme un objet placé devant le deuxième, et d'en chercher l'image en considérant les rayons réfractés par les bords de cette deuxième lentille. La distance du point que Ton obtient ainsi au foyer des rayons centraux déterminé de la même manière est l'aberration cherchée. En écrivant qu'elle se réduit à un minimum, on aura la quatrième équation du problèrao précédent.

Nous ne développerons pas ces calculs, car il n'existe sans doute pas un seul objectif construit d'après ces principes. Les calculs de Gauss ont été jusqu'ici peu connus, et, d'autre part, les opticiens se sont laissé guider par des méthodes analogues à celles de Cauchois; ceux qui n'ont pas introduit l'égalité des rayons des surfaces en contact ne sont arrivés à de bons résultats que par empirisme.

On peut d'ailleurs obtenir une grande variété d'objectifs ayant tous la même distance focale en construisant des systèmes achromatiques où les lentilles convergentes sont en crown et les lentilles divergentes en flint; en effet, dans un tel objectif, il reste deux rayons indéterminés; si l'on a dix ou douze lentilles de flint et de cronn, on peut donc les combiner pour annuler l'aberration de sphéricité autant qu'il est possible. C'est ainsi que Frauenhofer obtenait des formes d'objectifs qu'il conservait aussi longtemps que l'indice de son verre restait le même, et qu'il modifiait par la pratique, dans le cas où il avait un verre nouveau.

Biot a étudié, dans son Astronomie physique, une lunette de Frauenhofer, afin de comparer les courbures des lentilles à celles que la théorie avait indiquées; il a trouvé entre elles des différences notables, quoique l'instrument donnât d'aussi bonnes images que celles (ju'on pourrait attendre d'un objectif calculé très-exactement.

Il faut reconnaître d'ailleurs que, pour un objectif de lunette* la théorie exacte de l'achromatisme n'a pas toute l'importance qu'on pourrait supposer, car l'épaisseur des lentilles est petite par rapport à leur distance focale; a fortiori en est-il de même de e, distance du second point principal de la première lentille au premier point de la deuxième. Cela posé, il est facile de prouver que les conditions exactes d'achromatisme ne peuvent que très- peu différer de celles que donne la théorie élémentaire.

et

En effet, nous avons d'abord

AK==o,

l'équation AK = o revieni donc à la suivante,

(p* ^ (p'* ^ (p(p' ^ \^^(p' ^ ^^ij ~ "•

e étant très-petit devant ^ et ^\ et Ae étant aussi très-petit devant AÇ et A(p\ cette équation se réduit sensiblement à

(pr-r (p^ — o,

c'est-à-dire à la condition qu'indique la théorie élémentaire où l'on suppose l'épaisseur infiniment petite.

Nous avons d'autre part

GAr - AG = o; or

c'est-à-dire sensiblement l'unité; l'équation se réduit donc à

Ar = AG.

Or on a

la variation de ^' sera donc multipliée par i^.^ quantité très-petite;

donc AI' est sensiblement nul. Il en est de même de AG, qui est

proportionnel à-^ + -^* Ainsi la deuxième condition indiquée par

la théorie exacte est presque satisfaite d'elle-même, quand on a soin de prendre des lentilles très-minces. Nous avons vu que la première se réduit sensiblement à celle que fournit la théorie élémentaire; il

ou , en réduisant les derniers termes au même dénominateur et remarquant que g-/ — hk = i ,

(1 ou

Il est facil<» de relier la position des points nodaux à celle des points principaux et à la distance focale. On a en effet

Donc l'abscisse du deuxième point nodal est égale à celle du deuxième point principal, diminuée de la distance du premier foyer au premier plan principal, c'est-à-dire de la première distance focale, avec son signe.

On a encore

Donc, une fois le deuxième point nodal trouvé, on a le premier en portant en arrière une longueur égale à la distance des deux plans principaux.