Calculons le coefficient du premier

On voit aisément que tous les termes provenant de ]ê sont nuls, à l'exception de

— â cos(4/ — U) cos (>f/ — m) V AaEe= — 9mM cos(4/ — U )cos(4/ — a),

m étant le moment magnétique de l'aiguille mobile et M celui du barreau fixe. Le terme en / donne

-- a sin (^f' — U ) sin (4/ — a)^AaEe = — d?/iM sin (>f/ — U ) sin (>f/— a).

Donc

G=— (n—i)mM[Mcos(4/ — U)cos(4/— tt) — sin(4'— ll)sin(\(/~tt)].

Nous avons donc pour valeur de la fonction

fî=. wTcosM+(w — j)wM wcos(>|/— U)cos(4'— tt)

-sin(>(/-U)sin(4/-w)]R-<'-^»>

Pour trouver le maximum ou le minimum de cette fonction, et par conséquent pour obtenir l'équation de ré(|uilibre du barreau aimanté soumis à l'influence de la terre, de la torsion et du barreau auxiliaire, il faut égaler à zéro la dérivée de cette fonction j)rise par rapport à la seule variable u. On obtient ainsi l'équation

mT sin M — ô (N — m) + (w — i) mM [wcos (>f/ — U) sin (>[' — w)

+ sin( •/-U)cos(>P-ti)]R-<-^'^

Tous les termes de cette série décroissent rapidement, à cause du facteur R et des coefficients /i,/^ qui vont eux-mêmes en diminuant. Cette équation contient des quantités qu'il n'est pas possible

(le ddierminer, mais on tourne' la difficulté de la manière suivante. Supposons qu'on enlève l'aiguille fixe , l'aiguille mobile prendra alors une nouvelle position d'équilibre. Désignons par % l'angle que fait avec le méridien magnétique l'axe de l'aiguille : c'est la valeur de u particulière à ce cas. L'équation d'équilibre est

mT sin u^ + S (N — tt„) = o.

Retranchons cette équation de la précédente après avoir changé tous les signes dans les termes de cette équation, nous trouvons

mT(sin u— sin u^) + d(tio — ti)=-(n— i)mM (.•.)+.•..

L'angle u — u^ peut être mesuré exactement, quoiqu'on ne connaisse pas rigoureusement la direction de l'axe magnétique de l'aiguille mobile. Cet angle est évidemment égal à l'angle compris entre les deux positions correspondantes de la normale au miroir, parce que cette normale est invariablement liée à l'axe magnétique et située dans un même plan horizontal. Or ce dernier angle peut être mesuré très-exactement. Ainsi u — u^ peut être regardé comme connu avec beaucoup d'exaetitude.

Dans l'expérience, les angles de déviation que Ton observe sont tous très-petits, parce qu'on est obligé de rendre R très-grand, conformément aux hypothèses qui ont été faites dans le calcul. Alors, l'angle u — u^, étant très-petit, on peut remplacer sin u — sin u^ par tang (ti — Up) et u — u^ par tang (u — u^). Le second membre de l'équation renferme aussi l'angle u; si on le remplace par u^, on ne commet qu'une erreur très-petite qui est du reste multipliée par I\-("-t-i)^ quantité elle-même très-petite. Il est bien entendu que l'expérience devra décider si les approximations auxquelles nous nous sommes arrêtés sont suffisantes.

Toutes ces réductions étant faites, l'équation devient

(n-i)mM ^nco8(>^-c)8in(+-«J + sin(+-L)cos(^'-Il.)lR"^"■^'^^-....

Ung(«-«„) = -^^

ou bien

tany ( « - u„ ) = FR -<" + •) + F'R - <• + s» +

L'expérience a confirmé cette formule; elle montre que les deux premiers termes de la série sont toujours suffisants , et même que le second est souvent sans influence. Elle a, en outre, montré que n est égal à 3 , de sorte que la tangente de l'angle de déviation est donnée par la formule très-simple

tang(M-u,) = FR-3 + FR

Pour déterminer les deux coefficients F et F', on fera une série d'observations que Ton combinera d'après les méthodes connues. Ces coefficients étant mesurés en valeur absolue , on aura

{n— i)mM[ncos(4' — U)sin(4/— u,)-+-sin(4/— U)co5(>|/— aj]

mT-e

ou bien , en posant -7- == p ,

^ [n— 1) [wcos(4/ — lJ)sin (4'--a,)4-sin(4' — lI)cos(>f/— ii„)]

On remplacera dans le second membre n par s et p par la valeur qu'on aura déterminée expérimentalement, comme nous l'avons dit à propos de la déclinaison, pour le rapport du moment de torsion de l'aiguille mobile au moment magnétique.

Toutes les quantités qui entrent dans le second membre ayant été déterminées par l'expérience, on connaîtra la valeur absolue du

rapport 7=7, et par suite on pourra trouver T.

321. C^orreetionsdiveimies. — 1" Les barreaux ne sont pas symétriquement aimantés. — La méthode précédente suppose plusieurs conditions qui ne sont jamais rigoureusement remplies. De là la nécessité de certaines corrections.

On a supposé les barreaux aimantés symétriquement, d'abord lorsqu'on a dit que les puissances paires de R disparaissaient de la série , et ensuite lorsqu'on a regardé les angles u, u^ comme accessibles à l'observation. Or, on ne connaît pas exactement la direction de l'axe magnétique, et l'on est obligé de prendre pour cette direction celle des axes de figure. Les barreaux aimantés dont on

iVIESURE DE SON INTENSITÉ. 551

se sert étant très-longs, ces conditions sont à peu près satisfaites; mais elles ne le sont pas rigoureusement, et voici comment on en tient compte. Les coefficients des puissances paires ne seront pas rigoureusement nuls et l'on aura, je suppose,

tang(u-M,)==FR-3 + FiR-*+F2R-^H •

Nous avons fait remarquer que F et F^ ne contiennent que les puissances paires de k^ tandis que F|,F3 n'en contiennent que les puissances impaires. Il en résulte que F et F2 ne changent pas lorsque k ne fait que changer de signe, tandis que F| change de signe dans les mêmes circonstances. Or il est aisé de voir que k change de signe si Ton augmente l'angle 4^ de 1 80 degrés. Si donc on fait une seconde expérience dans cette position, on a

tang(u'~u,) = F'R-3-F;R-^-fF:R

Si l'on ajoute les deux dernières équations membre à membre, on aura dans le premier membre

tang(u — u„) + tang(tt'-M„)= alang^M — M„-f w' — m„J

= 2tang(î^ — M„); en effet on a

1 / , ; \ sin(a— u„)4-sin(a'-Uo)

tang-(^a--u„+et -«„j=^^^^^^,^^^^(^,^,

^^^^^tan

cos (u' — u J cos (a — u„) et cette expression se réduit î

^tang(u M„) + ^tang(tt'-tt,),

puisque cos(tt— tt„) et cos(u'— u^) sont sensiblement égaux à l'unité, et l'on a par conséquent

tang^-Y--«*oj = -v-ï^~ +-V"ï^~ +

Les coellicients F, et F[ dis|iaraissei)t . car ils sont très-petits et sensiblement égauï; leur différence F, — FJ est donc négligeable.

Voyons maintenant l'opération qu'il fuut effectuer pour augmenter ij'de 180 degrés. Soient CD (fig, 3i5) ia trace du méridien magnétique sur un plan horizontal, HH' la droite que décrit le centre du barreau auxiliaire quand on le déplace, AB kl position de ce barreau dans la première observation; l'angle -^ sera l'angle H/iD. Transportons maintenant le barreau AB parallèlement ù lui-même en A'B', de manière que AH'=/iH; R n'aura pas changé, mais Kij. i,s. l'angle ^ deviendra l'angle

Hmp^^+ 180°.

Il faudra donc faire une première observation en plaçant le barreau auxiliaire à droite du barreau mobile, et une seconde en le plaçant k gauche et à la même distance; on mesurera les différences u— M,, u'— M„, dont on mettra les valeurs dans la formule précédente.

322. a" L'axe tuagnélique du barreau m coïncide pas avec l'axe de Jigure. — Il faut maintenant corriger l'erreur que l'on commet en prenant pour U l'angle de AB avec CD, AB étant l'axe de figure da barreau auxiliaire. Si l'angle que l'on mesure est trop grand, par exemple, on retourne l'aiguille de manière que le dessus devienne le dessous , et réciproquement ; dans cette nouvelle position , l'angle U sera trop petit de la même quantité. On fait les mêmes observations après avoir transporté le barreau en A'B'; on obtient de cette manière quatre angles

«,-«., «î-«., -(ti;-ii„), («;u„).

Comme dans chaque observation le coeDiàent de K~^ reste le mâmc, on aura , pour déterminer ce coefficient que nous désignerons

par C, l'écjuation suivante corrigée des erreurs amenées par une aimantation irrégulière,

tangj[K-u,) + (u2--u„)-(u;-u„)-(i*i--u.)]=^R-^4-CR

Il y a bien encore la valeur de % qu'il faudrait corriger, mais «„ doit disparaître des formules, car Ui—u^y ^[^^o ^t Wg— m„, u[ — u^ sont de signes contraires, comme le montrent les deux positions inverses occupées par le barreau auxiliaire; c'est pourquoi, en prenant la moyenne, nous avons mis le signe — aux deux derniers termes de l'expression de l'angle dans la formule précédente. En réduisant cette formule, il vient

tangj(Mi-f-tt2~u;-u;j = -^R-3+CR

équation qui ne contient plus u^.

En résumé, dans chaque observation il y a quatre déviations à mesurer, et, comme il faut deux observations pour déterminer F et G , il en résulte que l'on a à mesurer huit déviations.

323. Position à donner au barroou oiimilialre* — La position à donner au barreau auxiliaire n'est pas indifférente. On doit s'arranger de manière que les erreurs commises sur les angles ^ ot U influent le moins possible sur F, et pour cela faire en sorte que F soit un maximum ou un minimum. On sait, en effet, que lorsqu'atie fonction est maximum ou minimum elle varie très-peu pour des valeurs croissantes de la variable : les petites erreurs que l'on commet changeront donc très-peu la valeur de F. La partie variable de F

est

cos (\f/ — U) sin(4/ — Mo) + sin(\^ — U ) cos(>(/ — M„) ;

les deux variables sont >(/ et U. Pour avoir le maximum ou le minimum de cette expression, égalons à zéro leur dérivée par rapport à U et par rapport à >{/ : il viendra

sin(>f/~ U) sin (4/ — Uo) = cos(>{/ — U)cos(\f/ — u^),

cos(\{/— U-^-^z — Uo)= o:

d'où l'on tire

55i LEÇO^S SUB LE MAGNETISME TERRESTRE, la dernière donne

et, en portant cette valeur de 4' — «„ dans la première, sin { i(/ — U ) cos ( ip — U ) = o ,

if' — U = o

Soit d'abord «J* — U = o; alors >('—«, = -. et, comme «„ est trèspetit, ^ = - et par suite [] = -■

Soit maintenant +—11 = -; alors +=o et U = ~-. toujours en négligeant w„.

La condition 11 = o indique que l'axe magnétique du barreau Itxe doit être per[>endiculaire au méridien magnétique. Si avec cela on prend '{'=0, le barrreau fixe doit être en A"B'' (fig. ai6), dans une position telle que son centre soit sur le prolongement de AB. Si l'on prend + = -. le barreau fise est en A'B', dans une position telle que sa direction aille passer par le centre C de l'aiguiltc AB, On trouve que la position A'B' rend F Fig. .16. maximum et que A'B" rend F mini-

mum , et le rapport des dem valeurs de F est n. En ciïct, quand le barreau auxiliaire est dans la position ( 1 ), on a mM

et, quand il est dans la position (3), on a mM

On tiro (le Ih

L'expérience donne pour ce rapport la valeur a. De là une confirmation évidente do la loi des attractions en raison inverse du carré des distances.

Il n'est pas indiiïérent d'adopter la position (t) ou la position (a). La position (i ) sera préférable. En effet, dans ce cas, une petite erreur dans la position du barreau mobile A'B' a peu d'influence sur la position du barreau AB, car, que l'on j)lace le barreau A'B' un peu au-dessous ou un peu au-dessus de CD, l'action des deux pôles sur AB est altérée à peu près de la même manière. Il n'en est pas de même dans la position ( a ) : si l'on ne place pas le barreau perpendiculairement à BA , on rapprochera de AB l'un des pôles de A'B'' et l'on éloignera l'autre , de telle sorte que l'action pourra être sensiblement altérée.

324. Rémimé des •pératlons. — En résumé on opère de la manière suivante. L'aiguille AB étant suspendue par un faisceau de fils de soie et munie d'un miroir dont la normale coïncide avec l'axe de figure, on laisse cette aiguille se mettre en équilibre sous l'influence de la terre seule, on lit l'angle u^ que fait la normale au miroir avec le méridien magnétique, puis on place le barreau fixe en A'B' et on lit un nouvel angle u'; on retourne ce barreau, on lit u"^ on transporte le barreau A'B' de l'autre côté de AB dans une position symétrique et à égale distance du point G, et on lit les angles ti'" et u";

alors on prend u^ pour l'angle de déviation, puis

on répète plusieurs fois ces observations en faisant varier la distance. Toutes ces opérations durent un certain temps. 11 est donc nécessaire de tenir compte des variations d'intensité survenues pendant la durée des expériences. Ce qu'il faut mesurer, ce sont les variations rapides et non pas les variations lentes; on ne peut donc pas employer le procédé qui consiste à faire osciller le barreau du second magnétomètre et à suivre les variations de la durée des oscillations. En effet, pour évaluer la durée d'une oscillation, il faut mesurer la

fluri^e tolale d'un fjranci nombre d'osnllalions; si l'on se conffînlait d'une observation tr^s-courtc, on n'aurait aucune firi^cislon; il faut donc se servir d'un instrument propre à mesurer les variations rapides : c'est ce qui a conduit Gauss à imaginer le magn^tomètre ;'■ dcu\ fils.