L-usj
COS/ CCBMI
3Tr
Si dans l'équation ( i lil(^ proportionnelle
'in|,l;i(.e
il vient
i«) Sf
éi|ualion poluiie dp
;triJ
THKOHIK DK KKKS.NKL 47»
1 "26. Déterniinatloii de la surface de l*onde« — Soient r, l, m, n les roordonnées polaires d'un point de la surface d'élasticité: menons par ce point un plan perpendiculaire au rayon vecteur de cette surface, et désignons par p, X, fi, v les coordonnées polaires d'un point quelconque de ce plan.
L'équation du plan ainsi déterminé sera
(()) cos/cosX-(- cosmcos/!x + cos« cosv=^-'
et l'on aura entre les paramètres de ce plan les deux équations de condition
Icos^/ + cos'^m + cos^w ^ i , cos* l cos* m cos* n
La surface de l'onde est l'enveloppe des plans définis par l'équation (()); pour obtenir l'équation de cette surface, il faut donc, entre les trois équations (9J et (10) et les six équations obtenues en les difl'érentiant par rapport aux paramètres indépendants, que nous supposerons être cos/ et cosm, éliminer les huit quantités
, cfcos/i f/cos /< dr dr r. cos/, cos /M, COSW, -, r' -7 ■» -, ,f ~. 1
de façon à obtenir une relation qui ne contienne que p, X, /sa, v.
Les six équations obtenues en dilFérentiant (9) et (t 0) par rapport à cos/ et à COSW sont
. dcosn 1 dr
cos A + cos V 7 } = - -, -, 1
^ rf cos/ pdvosl
, . , dcosn ( I 1 ' cos/ + COSW T - 0 ,
V / I ' dcosi
cos/ cosn d cos// dr F cos*/ cos*/w cos*/i
r'-a' "^ / - ~ c' (/cos/ ^ demi '' [('''-''T (r^^^Y "^ (/•* - cy
dcosn 1 Jr
cos a + cosi; -. -- - -, 1
^ dcosni pdcosm
. , . dcosn I *> ' cos/// r cos/i 1 • - o ,
V / 1 ' dcosnt '
cos/// cos// Jcos// dr
r* - 6* /•' — c" (/ cos /// // cos ///
cos*/ cos* m cos*/i
,2\S~t"/,.J Al, XI
Ir'-ay ' (/•*-6*)'' ^ (r^-c^*)
A80 DOUBLE RÉFBACtiON.
Pour effectuer l'ëlimination des quantités-^ r^ j ^ -* j ^r
, ^ acosi acosm acosi
y nous aurons encore recours à la méthode des coefficients in-
Jcosm
déterminés; nous ajouterons les équations des deux systèmes (ii)
et (i s), après les avoir multipliées respectivement, la première par i,
la seconde par A, la troisième par — B. 11 est facile de voir que
les valeurs de A et de B qui annulent les coefficients de , ,
et de , . dans Téquation provenant du système (ti) annulent
aussi les coefficients de j et de t-— — dans l'équation pro-
(fcosm acosm * *
venant du système (i^); nous aurons donc deux équations pour déterminer A et B. Si à ces deux équations nous joignons les équations auxquelles se réduisent celles qui proviennent de l'addition des systèmes (t i) et (19) lorsque A et B sont ainsi déterminés, nous obtiendrons le système
COSA + A cos/ = D —
, . P cosni
COSjEZ +A COSm= D \i f
cos m
cosn
cosv +A cos;« ==B i ' a 1 D I cos*/ cos* m cos*n "j
Si l'on ajoute les trois premières de ces équations (t3) après les avoir multipliées respectivement par cos/, cosm, cosm, il vient, en tenant compte des équations (9) et (10),
Si Ton ajoute les mêmes équations après les avoir élevées au carré, il vient
On tire de là pour A et B les valeurs suivantes :
THÉORIE DE FRESNÈL. 48l
En portant ces valeurs dans les équations (i3), elles deviennent
pcosX rcô&l p*— a r—a
pcos/SA rcosm
(\h) l pcosy rcos/t
1 2 r cos*/ cos'm cos* n "1
jp COS*X COS*/!X cosV "I
Les trois premières de ces équations (i 4) peuvent être mises sous la
forme
r , / o «X cosX
cosX-~cos/ =(p2-r2)-ri:^,
C0S^--C0SW=(p2-|^)p-^,,
cos V cosw = (p^— r'j-T^-î*
Si Ton ajoute ces dernières équations, après les avoir multipliées res* pectivement par cosX, cosju, cosv, on a, en tenant compte de l'équation (9),
*~p«=(r-n(,^ri^+pz7r^+pr?j'
d'où enfin
/ ► X cos'X cos* ju cos* y I
\ / p^—a^ fT—h^ p*— r p-
équation polaire de la surface de l'onde.
Cette équation peut être mise sous une forme plus commode pour la discussion. Si en effet on retranche l'équalion (i5) de l'identité
1 cos*X cos*ju cos'v
il vient
/ /.v rt*cos*X . fc'cos'tt . cVos'i;
(10) — i ^■^ 1 — irH — i «==0,
Vbrdbt, V. — Opliqup, I. '^\
A8â DOUBLE RÉFRACTION.
forme sous laquelle Téquation de la surface de Tonde est fréquemment employée.
Pour obtenir l'équation de la surface de l'onde en coordonnées rectangulaires, il suffît de remplacer dans l'équation (16) cosX par
'-1 cosju par-' cosv par -1 p par v.r^+y^+2:^, ce qui donne P P r
Lorsque les quantités a, b, c, c'est-à-dire les vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité, ont des valeurs différentes, l'équation (17) représente une surface du quatrième degré à deux nappes distinctes.
Si deux de ces vitesses deviennent égales, comme cela a lieu dans les milieux cristallisés à un axe, si Ton a par exemple h-=c, l'équation (17) se décompose en deux autres
la surface de l'onde se compose donc dans ce cas d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution tangent h la sphère aux deux extrémités de son' axe polaire.
Enfin « si les trois vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux axes d'élasticité sont égales entre elles, c'est-à-dire si l'on a n^h=c, comme cela arrive dans les milieux isotropes, Téquation (17) se réduit à
et la surface de l'onde devient sphérique.
1 27. C^BMitraetioB de la «urface de l'ande au mayen da
x' y* 2* rallilMMilde -r+Li + -î == t. — Considérons un ellipsoïde dont
les demi-axes soient respectivement égaux aux vitesses de propagation des ébranlements parallèles aux trois axes d'élasticité; l'équation
THJtlORlE DE PRESNEL, 483
(le cet ellipsoïde est
nous rappellerons le second ellipsoïde. Supposons qu'on roupe cet ellipsoïde par un plan quelconque passant par son centre, et qu'on porte sur la normale à ce plan des longueurs directement proportionnelles aux axes de la section elliptique ainsi déterminée. Si Ton se reporte à la construction de la surface d'élasticité au moyen de l'ellipsoïde (E), dont l'équation est
on voit immédiatement qu'en désignant par p, X, /sa, i; les coordonnées polaires des points construits, comme nous venons de le dire, à l'aide du second ellipsoïde, l'équation du lieu de ces points s'obtiendra en remplaçant respectivement dans l'équation de la surface
d'élasticité r^, d^, b^y c^, l, m,n par -ji -ji pi -i^ X, /^t, v. On arrive
ainsi à l'équation
cos*X . cos*tt , cos*v
ou
a* cos* X 6* cos* f* ^, c* cos* v
p»-fl» ' p«-ft' "^ p*-c» ~^'
qui n'est autre que l'équation de la surface de l'onde.
Nous sommes ainsi conduits à la construction suivante pour la surface de l'onde :
Par le centre de l'ellipsotde ^ "+" a« + "i ^ ^ ^^* ^wAie un plan quelconque, et sur la normale à ce plan on porte deux longtLeurs proportionnelles aux axes de la section elliptique déterminée par le plan : le lien des points ainsi obtenus est la surface de l'onde.
128. IHrectioBi des vibratioBMi en un point de la «ur- £»e^ de ronde. — Nous allons nous proposer maintenant de déterminer la direction du mouvement vibratoire en un point quelconque de la surface de Tonde, c'est-à-dire cliercher la relation qui existe
48à DOUBLE KEFRACTfON.
entre les angles a, /S, y, que fait avec les axes la direction du d»*ptacement, et les angles X,|U, f, que fait avec les mêmes axes ta direction du rayon vecteur de la surface de l'onde qui correspond à ce déplacement, c'est-à-dire du rayon vecteur passant par le point où fonde plane qui propage ce déplacement est tangent à la surface de l'onde.
Si, entre les équations {7) ot les trois premières des équations (i/i), on élimine cos/, cosm, cos», il vient, en tenant compte de la dernière des équations (1 3) et de In valeur trouvée pour B,
p — «' p'-fc* p'— f' y cos'^ cos'fjt cos'T^
(■osa ^ cos/S rosy \ {p*—a')' ip' — 6')' ip'—r'i'
;■ / cos'/ cos'nt coa'» r I 1 1
^pV(r'-«")>"'"(r'-/.V^('-'-'-')'~pV'*'-p"~^
cosjS
En portant ces vnh l'onde, on a
dans l'équation (i5) de la surface de ros a rofi X + cos ^ cos /n + cos y cos v = i / 1 ; ■
Le cosinus de l'angle que fait la direction des vibrations en un point M de la surfnce de l'onde (fig. 88) avec le rayon vecteur OM qui passe par ce point est -
donc
égal à i/i ,; comme
, V P d'ailleurs - est le cosinus de l'an-
P pie que fait ce rayon vecteur avec la perpendiculaire OP abaissée (tu centre sur le plan langent en on voit que ces deux angles sont romplé-
Pi(.8S.
M jk la surface de l'onde
THEORIE DE FRES.NEL h&h
mentaires l'un de Tautre, et que, par suite, au point M les vibrations sont dirigées suivant MP.
Nous sommes ainsi conduits à cet important théorème :
La direction des vibrations en un point quelconque de la surface de tonde s^obtient en projetant le rayon vecteur qui passe par ce point sur le plan tangent au même point à la surface de l'onde,
La construction qui donne la direction des vibrations devient inapplicable lorsque Je rayon vecteur est normal à la surface de l'onde, mais dans ce cas il est toujours facile de déterminer la direction des vibrations.
Le plan OMP, qui contient le rayon vecteur de la surface de Tonde et la vibration correspondante , est ce qu'on appelle le plan de vibration. Quant au plan de polarisation du rayon OM, d'après l'hypothèse admise par Fresnel, ce plan doit être perpendiculaire à la vibration , et comme, en général, le rayon est oblique à la vibration , ce plan ne peut à la fois passer par le rayon et être perpendiculaire à la vibration. Fresnel prenait pour plan de' polarisation du rayon OM le plan mené par le point M perpendiculairement à MP; si l'on veut faire passer le plan de polarisation par le rayon, il faudra choisir pour plan de polarisation le plan mené par le rayon perpendiculairement au plan de vibration. Gomme les milieux biréfringents connus ne sont doués que d'une double réfraction trèsfaible, la différence entre les positions du plan de polarisation , suivant qu'on le définit de l'une ou de l'autre manière, est tout à fait négligeable.
129. Relations entre les direetloiuide prepusatloii nmw- ■nale des mwtûem planes, les direetians des rmfwtm veeteurs de 1» surfaee de l'ande et les dlreettons des vtbratio|iÉ«
— D'après le théorème précédent, si l'on conlsidère une onde plane quelconque, la normale à cette onde plane, la direction des vibrations sur cette onde et le rayon vecteur de la surface de l'onde qui passe par le point oii l'onde plane est tangente à cette surface sont contenus dans un même plan; de plus, ainsi que nous l'avons vu (12iSi), à chaque direction normale de propagation d'une onde
/i86 DOUBLE UEFHACTIOV
plane correspondent pour les vibrations deux directions parallèles aux axes de la section faite parallèlement à cette onde plane dans Tellipsoîde (R), directions qui sont perpendiculaires entre elles. Donc :
Les plans qui contiennent à Ut J'ois une mente direction de propagation normale, les deux vibrations et les deux rayons vecteurs corresfwndfnèts de la surface de Vonde, sont rectangulaires,
A chaque rayon vecteur de la surface de Tonde correspondent, puisque cette surface est à deux nappes, deux directions pour les vibrations. Nous allons démontrer que les plans qui passent par un rayon vecteur de la surface de l'onde et par les deux vibrations correspondantes sont rectangulaires, et à cet effet nous allons faire voir que :
Les deux vibrations qui correspondent A un mêtne rayon vectcfir de la surface de l'onde sont comprises dans deux plans passant par ce rayon
recteur et par les axes de la section elliptique qu'un plan perpendiculaire
.x* y* î* au rayon vecteur détermine dans l'ellipsoïde ^ + p + "ï "^ * •
Représentons par ^, >(', x ^^^ angles que fait avec les trois axes de coordonnées l'un des axes de cette section elliptique; il s'agit de démontrer que les trois droites (a, /3,y), (X,/tx, v), {(p^^f, x^ ^^^ ('ontenues dans un même plan.
Remarquons d'abord qu'entre les angles a, j8, y y que fait avec las axes des coordonnées l'un des axes de la section elliptique déterminée dans l'ellipsoïde a^x^ + H^y^-^-c^z^ = i par un plan perpendiculaire à la droite (/, m^ /<), on a les relations
cos / cos m cos n
/-\ r*— fl* r*—h* r*—c* j cos'/ cos'm cos'w
^'^ Tù&â ^ côs^ ^ côsy ^ V {'-'-«T (r* - 6')* "^ (r*-cV
et que par suite les angles (p, 4^. x- 4^^ ^'^'^ ^^^^ ^^^ ^^^^ ^^^ coordonnées l'un des axes de la section elliptique déterminée dans Tel-
lipsoîde Y + V, + "i = I par un plan perpendiculaire à la droite [X, (jL, v). sont liés par des relations qui s'obtiendront en remplaçant
THÉORIE DE FKESNEL 487
dans les précédentes t^, a, (3, y, l, m, n, ifi, fr-, c- respectivement par -,i^, >^, X- ^. /^, ''•J?'?'?'^^ ^1"' ^^""^ a* cos X h^ cos |ùt (^* cos v
(t8) J COS^ C08\(/ cosx
.^ff* cos^ X 6* cos* jEz c* cos* V
Ceci posé, considérons une droite auxiliaire perpendiculaire à la fois aux deux droites (X, /ii, v] et (i^, xf^, x)« ^^ faisant avec les axes des angles A, B, C; nous aurons
(19) cos A cos X + cos B cos [i + cos C cos 1; = o,
(30) cos A cos (p+ cos B cos>^ + cosC cos;c,= o.
L'équation (ao), en y remplaçant cos ^, cos>^, cos;^ par les quantités qui leur sont proportionnelles d'après (18), devient
a*cosX A , ft'costt Ti , f*cosv .,
— i — r cos A H — 5 — rr cos d H — i — r cos (j == o.
[X)sX . , CX)Stt „ , cosv .,
^—t cos A + -rrp cos B + -13^ cos C = o,
En ajoutant cette dernière équation et l'équation ( 19), il vient cosX
et en remarquant que, d'après les équations (7)et(i4),
cosX COS/IA COSl'
cosa cosjS cosy ' on a définitivement
cos a cos A + cos j8 cos B 4- cos y cos C == o .
Donc les droites (a, j8, y), (X, ju, v), ((p, >^, x)» étant toutes trois perpendiculaires à la droite (A, B, C), sont contenues dans un même plan, ce qui démontre le théorème suivant :
372 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
positions assignées aux minima de lumière par la théorie exacte coïncident sensiblement avec celles (|u on déduit de la théorie élémentaire.
L'évaluation des intensités que présentent les maxima et les minima à l'intérieur de Tombre n'oflfre aucune difficulté. L'équation (*>)« dont le second membre représente d'une manière générale l'intensité à l'intérieur de l'ombre, devient, pour les points ou l'intensité passe par un maximum ,
puisqu'en ces points on a
sin9re|!£ ■= o , cosTre/^t -^ ± i .
Au milieu de l'ombre on a
et par suite
si l'écran opaque était indéfiniment étendu d'un cAté, l'expression
de l'intensité k l'intérieur de l'ombre serait, comme nous l'avons
vu (90),
l«=K(G. + HJ»:
d'où l'on peut conclure que l'intensité de la lumière au milieu de l'ombre d'un écran étroit est le quadruple de ce qu'elle sérail si l'écran était indéfiniment prolongé d'un côté.
A mesure que (à augmente, c'est -u-dire lorsque, partant du milieu de l'ombre, on s'approche de sa limite, a décroît de-e^à léro
tandis que )S croît de-e^h li-e^iG^ augmente donc dans ces conditions ainsi que H^, tandis que G a et Ha diminuent; mais, comme G^ et H^ sont toujours respectivement plus grands que Ga et Ha, et que les différences qui existent entre G^et Ga d'une part, entre H, et Ha de l'autre, croissent rapidement «ivec /ii, l'expression qui représente l'intensité des mavima de lumière augmente aussi avec fi: ce^
si dans la lumière polarisée les vibrations sont perpendiculaires ou parallèles au plan de polarisation. L'une et Tautre hypothèse sont également légitimes; seulement elles exigent que, pour la repré- .sentation approximative des lois de Fresnel, on admette des relations différentes entre les coefficients d'où dépendent les grandeurs et les directions des forces élastiques mises en jeu dans les vibrations de Téther.
37& LUMIÈRE NON POLARISÉE.
rieur; nous allons cependant faire connaître ce qu'indique la théorie sur cette distribution. Pour un point situé en dehors de Tombre géométrique, les limites des intégrales C et S sont, en convenant de compter positivement les arcs situés du même côté du pôle que le corps opaque, — oo et A — /, A + / et + cx> , ou , en conservant aux lettres /tx et e leur signification, — oo et ii— e^ pi + e et +c»; l'expression cpii représente l'intensité est donc dans ce cas
et l'équntion qui détermine les positions des maxima et des minima devient
(•+(:,, -C^,,) [c«sf(^ -.)•-• - cosf (^+e)^]
Eli remplaçant les intégrales C et S par leurs valeurs en fonction (Ips iiit(fgrales G et H et en posant, comme précédemment,
l'expression de l'intensité prend la forme
