l^ffï - G^cosa^-H^sina +(i|3COs/3 -Hgsiu/S

+ [i — G^sina - H^cosa + GflsinjS + Htfro.sjS)-],

et l'équation <pii détermine les positions des maxima et des minima devient

^i+GfiCosjS Hflsin/3~ G^rosa + H^sino)(cosa -ros/3) + (i +Gcsin)S -j-HûCosjS — G^sina — H^cosa) (sina -sin/î)= o,

- (G,-M;^)1i- cos(/5 -a)| + (H.-H^).sin(/3--«)

-+- cos a - vos /S -h sin a — sin /S — o .

THEOKIE DE CAUCHY. 491

deux molécules. L'aclion réciproque de ces deux molécules est dirigée suivant la droite qui les joint et a pour expression

/étant une fonction indéterminée de la distance. Si le système est en équilibre, on a les trois relations

(.) W{'-)t = "' WWl^'»' W('-)t = o-

Supposons maintenant qu'à un certain moment les molécules du système soient écartées de leur position d'équilibre d'une quantité très-petite, et soient Ç, )?, ^ les projections sur les axes du déplacement de la molécule m^ déplacement que nous désignerons par e; soient au même instant Ç+ AÇ, •; + A)?, Ç + AÇ les projections sur les axes du déplacement de la molécule /!£, et r+p la valeur que prend la distance des deux molécules. En représentant les composantes parallèles aux axes de la force élastique qui s'exerce sur la molécule m par Xe, Ye, Ze, de sorte que X, Y, Z soient les composantes de la force élastique rapportée à l'unité de déplacement, on aura

Ze=^m2f./(r+p)^^^-'

Si l'on développe /(r + p) et si l'on néglige les ternies dont Tordre de grandeur est inférieur à celui de p^, ce qui est permis puisque les déplacements sont toujours Irès-petits. il vient, en remarquant que AÇ, A)r, AÇ sont du même ordre de grandeur que p^ tandis que Aa;, Ay, Az peuvent être d'un ordre de grandeur quelconque,

Xe = «2,[/(r)-^p/(r)j(^)(.-e)

On a d'ailleurs

{r+pY= (A« + A^»+ (Ay + An)»+ (Ai + AQ*. d'oà , en se bornant au même degré d'approximation que plus haut ,

En portant cette valeur de p dans les expressions qui représentent les composantes de la force élastique , il vient définitivement

ï, = »ï,j[/'M-£?]î£#iAe+[£?+[/(r)-Û2]^]^.

132. RetotioB entre 1» witeflee de preiMis^ifieBi d^mie •nde plane et 1» feree éliMitique. — Considérons dans un milieu homogène une onde plane, c'est-à-dire un plan dont tous les points sont animés de mouvements identiques, et soit R la distance de cette onde plane à l'origine des coordonnées. Soient, au temps (, e le déplacement d'une des molécules de Tonde, Ç, >;, ^ les projections de ce déplacement sur trois axes rectangulaires quelconques. En supposant le mouvement vibratoire rectiligne et en désignant par a, j8, 7 les angles que fait avec les trois axes la trajectoire rectiligne de chaque molécule de Tonde plane, on a

Ç=^(R,()cosa, )?=-^(R,<)cosj8, Ç = ^(R, <)cosy.

Pour que Tonde se propage sans altération dans le milieu, il faut :

i*' Que les angles a, j8, 7 restent constants;

â^ Que l'on ait, en appelant V la vitesse de propagation de Tonde plane ,

condition qui ne peut être remplie que si la fonction ^ est de la forme ^(R~Vf).

Nous avons vu d'ailleurs que les phénomènes de diffraction s'expliquent jusque dans leurs moindres détails en admettant que les mouvements vibratoires des molécules de l'éther suivent les mêmes lois que les oscillations infiniment petites d'un pendule. On peut donc poser, en représentant par X la longueur d'ondulation et par S une constante,

e = ^sinÇ(R-V/), d'où

Soit Ue la force élastique développée par le déplacement e; lorsque l'onde plane se propage sans altération, cette force est parallèle au déplacement et l'on a

1> \ ou

ÎT ^^

Donc , lorsqu'une onde plane se propage sans alléralion dans un milieu homogène, sa vitesse de propagation est proportionnelle à la racine carrée de la force élastique développée par le mouvement d'une de ses molécules.

On retrouve ainsi sans faire aucune hypothèse l'un des principes admis sans démonstration par Fresnel.

133. Empremiion Analytlqiue de* forées élaetiqiuee développéee dans to propasation d'une onde plane. — Nous allons maintenant appliquer à la propagation d'une onde plane dans un milieu homogène les formules établies plus haut pour un système quelconque de molécules en mouvement, et chercher quelle doit être la direction du déplacement pour que l'onde plane se propage sans altération.

Soient l,m, n les angles formés avec les axes, que nous supposons toujours choisis arbitrairement, par la normale à une onde piano, et R la distance de cette onde à l'origine; les coordonnées x, y, z d'un point de l'onde plane satisferont à l'équation

(3) X cos /+ y cos m -h 2 cos n = R.

De môme , si ar + Ax, y + Ay, z + àz désignent les coordonnées d'un point d'une deuxième onde plane parallèle à la première, et R + AR la distance de cette deuxième onde à l'origine , on aura , en tenant compte de l'équation (3),

(4) A^ cos / + Ay cos m + Az cos n = AR.

Soient maintenant ^, )?, ^ les projections sur les axes du déplacement e que reçoit à un certain moment la molécule dont les coordonnées sont X, y, z, ei a, ^^ y les angles que fait ce déplacement avec les axes. D'après ce que nous avons vu plus haut (132), on aura

(5) | = (p(R-V/)co8a, )y = (p(R-Vl)cos/3, ^ = (p(R~Vl)cosy.

Si l'on représente par f+ A?, ); + A»?, Ç + A^ les projections sur les axes du déplacement que subit au même moment la molécule dont les coordonnées sont x + âkx. y + Ay, 2 + Az, et si Ton su|>pose que l'onde plane se propage sans altération et que par conséquent les angles a, /3, 7 soient constants, on déduira des équations (5) les valeurs suivantes pour AÇ, Aiy, A^ :

THÉORIE DE CAIICHY.

Pour avoir les expressions des composantes parallèles aux axes (le la force élastique qui s exerce dans la propagation de l'onde piane sur la molécule [x, y, z), il faut dans les formules (a) remplacer AÇ, A>7, A^'par les valeurs que nous venons de trouver. Les forces moléculaires n'étant sensibles qu'à de très-petites distances, on peut, du moins si l'on se contente d'une première approximation, négliger les termes qui contiennent AR à une puissance supérieure à la seconde ('); de plus, si le milieu n'est pas hémiédrique, tout est semblable de part et d'autre de l'onde, et les termes qui contiennent AR à une puissance impaire s'évanouissent comme étant la somme de quantités qui sont deux à deux égales et de signes contraires. Il vient donc, en faisant la substitution,

/ ~^- = AR2Jcosa2fi[^

+ cos^2,[/'(r)-^]^

+ cos/32ftr

/w Lr/'/\^/wiA/i

\~pr I

™.,2.^'(r)-4î]^j, |~AR'jco,.s4/V)-ia]éf#£

Si l'on porte dans ces équations (7) la valeur de AR tirée de (A), les composantes de la force élastique seront exprimées en fonction des angles /, m, w et a, j8, y. La grandeur et la direction de la force élastique rapportée à un déplacement égal à l'unité dépendent donc non-seulement de la direction du déplacement, mais encore de relie du plan de l'onde, contrairement à la seconde hypothèse admise par Fresnel.

^'^ On verra plus loin que les termes que nous regardons ici comme négligeablen doivent Mre pris en rxinsidéralion dans ia lliéorie de la dispersion.

i — = ros a < + ros^m

Pour simplifier les résultats obtenus en substituant la valeur de AR dans les équations (7), il suffit de choisir pour axes des coordonnées les trois axes d*élasticité du milieu (122). Les trois plans menés par la molécule {x,y, z) parallèlement aux plan^ coordonnés sont alors des plans de symétrie» c'est-à-dire qu'à chaque molécule située d'un côté d'un de ces plans correspond une molécule de même masse située de l'autre côté du plan et à la même distance de ce plan que la première, d'où il résulte que tous les termes contenant l'une des quantités Ax, Ay, Az à une puissance impaire s'évanouissent. Donc, en prenant pour axes des coordonnées les axes d'élasticité du milieu, on a

+ s cos ^ cos / C08 m 2pt [/'(r) - ^1 ^^' y cos /cos n 2;* l/('*) — '^J ,M '

+ 9 cosy coswrosfii^ y (rj— ^^-7- I -^ — ^ -f-9 cos/Scosincosw2jE£ /(r)—- *^ — -^— i —

+ 9 cos

cos-*

-+- cos y { + cos + cos^

»rS.£^A:.+ï.[/M--^]^)|

THÉORIE DE GAUGHY. 49?

Posons pour abréger

les formules (8) deviendront définitivement

+ aF cos / cos m cos jS + txE cos / cos n cos y,

-^- = [(Jt+A)cos2/+(uli + F)cos2wi + (C + E)cos2w]cosa

— = qF cos / cos m cos a

aw m

(9) { +[(c«o + F)cos«/ + (iro + B)cos2w + (G-hD)cos2w]cos/3

+ 9 D cos m cos n cos y,

;- = aEcos/cosncosa+ aDcosmcosncosâ

4- [(cHo + E) cos^ /+ { l)î) + D ) cos^ m + (G + C ) cos^ II] cos y .

• 13&. EllipiMiVde de polarisation. — Pour que l'onde plane se propage sans altération , il faut et il suffit que la force élastique soit parallèle au déplacement, c'est-à-dire que Tenait, en désignant par U la grandeur de la force élastique rapportée à un déplacement égal à Tunité,

(10) JL==JL A. = U;

^ / cosa cosp cosy '

de plus, si ces relations sont satisfaites, la vitesse de propagation de l'onde plane est, comme nous l'avons vu (132), proportionnelle h la racine carrée de U.

En remplaçant dans les équations (10) X, Y, Z par leurs valeurs

Vebdet, V. — Optique, I. 3j

tirées de (9), et en désignant par G, H, K les seconds membres des trois équations (9), il vient

, V X* Il G H K

air* m cos a cos (2 cos y

On a ainsi entre les angles a, /3, y deux relations qui, jointes à

l'équation

cos^a + ros^/S + oos^y= 1,

déterminent les directions des déplacements pour lesquels Tonde plane nonnale à la droite qui fait avec les axes les angles /, m, n se propage sans altération.

Ces directions peuvent s'obtenir d'une manière très-simple par la considération d'une surface du second degré. Soit en effet

L^+My2+ N22+ fàVyz-h 9Qj:z+ *îRa;y = 1

l'équation d'une surface du second degré ayant pour centre l'origine. En désignant par a, /3, 7 les angles que fait avec les axes des coordonnées l'un des axes de svmétrie de cette surface, on a , comme on

sait,

/ L cosûn- R cosjS+Q cosy Rcos a h- M cosj8-4-Pcosy

/ . \ cos a cosô

(ta) { '\

I Qcosg4-Pcosj8-4-Ncosy ^.

\ cosy "" '

S étant l'inverse du carré du demi-au» parallèle à la direction («,/3,y).

Les relations ( t « ) deviennent identiques aux relations ( 1 1 ) si l'on pose

L = (4, + A)cos2/+(i)}, + F)cos2in + (G + E)cos2w, * M^(4, + F)cos2/ + (ift,+ B)cos2w + (G + n)cos3w,

) N^^il, + E)cos^/+(DÎ) + D)cos2w+(C+(;)cos^ii,

' P-^ «îDcosmcos w.

Q-^ *îE cos/ cos w,

\ R== *îF cos / cos w.

et Ton a alors

^ / lit m

Les directions définies par les équations (i t) sont donc parallèles aux trois axes d'une surface du second degré dont l'équation est

[(cil + A) cos2 / + (ijî, + F) cos2 m H- (S + E) cos2 ;^] x^ + [(cH, 4- F) cos^ / + (ifi, + B) cos2 w + (£ 4- D) cos2 «] y2

1 +p.+ E)c0s2/-|-(lfi, + D)C0s2|W + (e4-C)C0s2«]22

+ ADcoswicoswy2; + /jEcos/cosw.T:+4Fcos/cosm.ry-= i.

La force élastique U tendant toujours à ramener la molécule m vers sa position d'équilibre, U est constamment négatif, et pjir suite les valeurs de S qui correspondent aux trois groupes de valeurs déterminées pour les angles a, ^, y par les équations (iri) sont toutes trois positives. La surface représentée par l'équation (i5)a donc ses trois axes réels et ne peut être qu'un ellipsoïde. Cauchy a donné à cette surface le nom $ ellipsoïde de polarisation.

Donc, étant donnée une onde plane, définie par les angles l, m, ;* que la normale à cette onde fait avec les trois axes d'élasticité du milieu, il existe toujours pour les déplacements moléculaires trois directiom rectangulaires telles, que l'onde puisse se propager sans altération, et ces trois directions sont parallèles aux axes de Vellipsoide de polarisation.

Si la direction du déplacement sur l'onde plane est quelconque, on peut décomposer ce déplacement parallèlement aux trois axes de Tellipsoïde de polarisation; d'où il suit qu'en général une onde plane donne naissance à trois systèmes d'ondes planes se propageant avec des vitesses différentes.

Les vitesses de propagation des ondes planes sont, comme nous l'avons démontré (132), proportionnelles à la racine carrée de U, et par conséquent, d'après l'équation (i4), à la racine carrée de S; d'où l'on peut conclure que les vitesses de propagation sont en raison inverse de la longueur de l'axe de l' ellipsoïde de polarisation auquel est parallèle le déplacement.

Gomme à chaque direction de propagation normale correspondent trois systèmes d'ondes planes se propageant avec des vitesses différentes, il semble que la surface de Tonde doive être à trois nappes et que, dans le cas général, chaque rayon incident doive donner naissance à trois rayons réfractés et non pas à deux seulement, comme le montre l'expérience. Il s'agit donc maintenant de voir s'il est possible d'établir entre les coefficients A, B, G, Jlo, ^, Q,Dy E, F, dont dépend la constitution du milieu, des relations telles, que l'accord entre la théorie et l'expérience se trouve rétabli.

135. ImpoMiibilité de* iribraiions risoiupeuftemeiit tMiiaverMilMi «lana les milieux non isotropes. — La difficulté que nous venons de signaler, et qui résulte de ce que la surface de l'onde est à trois nappes dans le cas le plus général, disparaît si le milieu est constitué de telle façon que deux dès directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane soient toujours parallèles au plan de l'onde, quelle que soit la direction de ce plan; car on peut supposer alors que les vibrations parallèles à la troisième direction, c'est-à-dire perpendiculaires au plan de l'onde, ne sont pas susceptibles d'impressionner la rétine. Gherchons donc quelles sont les relations qui doivent exister entre les coefficients qui caractérisent un milieu pour que , dans ce milieu , des trois directions auxquelles peuvent être parallèles les vibrations d'une onde plane , deux soient rigoureusement transversales et la troisième longitudinale, quelle, que soit la direction du plan de l'onde, ou, en d'autres termes, pour que les équations (ii) soient satisfaites, quels que soient les angles /, m^ n^ en y faisant

En remplaçant respectivement dans les équations (it) a, /3, y par l, m, n, ces équations deviennent

Acos2/+3Feos2fit+3Ecos2n==3Fcos2/+Bcos«m+3Dcos«ii

= 3E cos^ / + 3D cos* m + G cos* w.

En éliminant cos / entre ces dernières relations et l'équation

cos^ / + cos*^ m + cos^ w = i ,

il vient

A + (3F ~ A) cos» m+ (3E - A) cos^ n

= 3F + (B~3F)cos2m + 3(D-F)cos2n

= 3E4-3(D-E)cos2|ii+(C-3E)cos3n.

Pour que ces relations soient vérifiées quels que soient les angles m et n, il faut que l'on ait

d'où l'on tire facilement

Les conditions ainsi obtenues expriment évidemment que le milieu est isotrope; donc, dans les milieux non isotropes, il est impossible que les vibrations soient rigoureusement transversales pour toute direction du plan de Tonde. Toutes les fois qu'il s'agit d'un milieu non isotrope, on ne peut, par aucune hypothèse sur les relations entre les coefficients, échappera la difficulté que nous avons indiquée et faire rentrer rigoureusement la théorie de Fresnel dans celle de Cauchy.

136. Vibrationa qiiuMil-trfiiuiTepMilMi. — Tous les milieux biréfringents connus sont doués d'une double réfraction très-faible et diffèrent peu, par conséquent, des milieux isotropes. Les conditions (16), qui sont satisfaites rigoureusement dans les milieux botropes, le sont donc d'une manière approchée dans les milieux biréfringents ; d'où il résulte que , dans ces derniers milieux, des trois directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane, deux sont toujours à peu pris parallèles au plan de cette onde et la troisiènie à peu pris perpendiculaire à ce plan. Les deux premières directions sont dites quast-iransversales et la troisième quast-hi^tU' dmale. Des trois systèmes d'ondes planes qui correspondent à une même direction de propagation normale, deux sont donc à vibrations quasi-transvei*sales et le troisième à vibrations quasi-longitu-

386 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

L'intensité est donc minimum au point M lorsque la différence des chemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale à un nombre pair de demi- longueurs d'ondulation diminué d'un huitième de longueur d'ondulation, et qui diffèrent chacune de cette moyenne d'un quart de longueur d'ondulation.

On voit de même que l'intensité est maximum au point M lorsqu'on a

c'est-à-dire lorsque la différence des chemins BM et CM est comprise entre deux limites dont la moyenne est égale ù un nombre impair de demi -longueurs d'ondulation diminué d'un huitième de longueur d'ondulation, et qui diffèrent chacune de cette moyenne d*un quart de longueur d'ondulation.

Lorsque l'on a

cosJ(e« 4-^ = 0 et par conséquent

^=(Qn4-i)- + gX.

la dérivée seconde de l'intensité par rapport à f< est nulle au point M, car, la dérivée première pouvant être mise sous la forme

Fsinire/x,

la dérivée seconde est égale a

sinire^ t- + f we cosire^

et se réduit par conséquent h zéro au point M, où sinirefi est nul ainsi que le facteur F, que nous avons supposé pouvoir être confondu

avec cos (c^ + i) ' H f^ut alors avoir recours è la dérivée troisième

pour reconnaître si l'intensité présente en M un maximum uu un minimum; mais, dans tons les cas, on voit que, lorsque S a une de^

DIFFRACTION. 38?

valeurs pour lesquelles s'effectue le passage du maximum au minimum ou réciproquement, Tintensité varie dans le voisinage du point M beaucoup plus lentement que lorsqu'il y a en M un maximum ou un minimum ordinaire.

Si la distance à laquelle on observe les phénomènes est trèsgrande, la frange qui occupe le milieu de l'image de l'ouverture doit évidemment toujours être brillante; lorsque cette distance a atteint une certaine valeur, l'intensité que présente la lumière au milieu de rimage de la fente cesse donc d'être alternativement un maximum ou un minimum et reste constamment un maximum.

Considérons maintenant les points situés en dehors de Timaj^e géométrique de la fente diffringente, c'est-à-dire dans l'intérieur de l'ombre géométrique. En suivant la mt^me marche que précédemment jious trouverons qu'en ces points l'intensité a pour expression

p K [(G^cosa - H.sina - ri^cos/3+ U^s\n0f

+ (G^ sin a-^ H^ cosa — Gasin (3 — H^cos jSV-l ^

et nous obtiendrons, pour déterminer les maxima et les minima, l'équation

(3) — (G^+ Gfi) sin^Tre/x + fH^ — Ha) sin 7re/x cos we/i = o ,

(|ui se décompose en deux autres.,

Ci) siniref«=o

(..) tang,re^ = ^j-p^.

Il est facile de s'assurer, à l'aide du raisonnement que nous avons employé lorsque nous nous sommes occupés de la distribution de la lumière h l'intérieur de l'ombre géométrique d'un corps opaque élroit, qu'ici les racines de l'équation (^i) correspondent à des minima et celles de l'équation (f)) à des maxima.

A l'intérieur de l'ombre géométrique d'un coqis opaque étroit les pobitions des maxima sont déterminées par l'équation

sin7re^=^ o.

588 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

et celles des minima par l'équation

tangTre^

(y CL - (^jS

La première de ces équations est identique h l'équation (A), la seconde diffère très-peu de l'équation (5): on voit donc que lesfranm»s extérieures h l'image géométrique d'une fente étroite sont distribuées très-approximativement suivant les marnes lois que les franges intérieures à l'ombre géométrique d'un corps opaque de même largeur que la fente; pour obtenir les positions des premières, il faut faire varier ^ de e à + oo ; pour avoir celles des dernières, il faut faire varier ii de zéro à e.

Les franges produites par une ouverture triangulaire allongée sont tout à fait assimilables à celles qu'on observe dans l'ombre d'une aiguille, et présentent comme ces dernières une forme hyperbolique; les asymptotes de ces hyperboles sont la hauteur du triangle qui forme l'image géométrique de l'ouverture diffringente, et une perpendiculaire à cette hauteur menée par le sommet. Il faut remarquer seulement que, dans le cas actuel, la frange centrale est dans sa longueur alternativement brillante et obscure si Ton emploie la lumière homogène, et teinte de différentes couleurs si l'on opère avec la lumière blanche; cela tient à ce que, h une distance constante du corps diffringent, l'intensité de la frange centrale dans la lumière homogène, et par suite sa couleur dans la lumière blanche, dépendent de la largeur du corps diffringent.

98. Influence du dUiniètre »p|iarent de 1» souree et de rinelinnison de 1» fente. — L'influence du diamètre apparent de la source, dans le cas d'une fente étroite h bords rectiiignes et parallèles, se fait sentir absolument de la mc^me manière que lorsqu'il s'agit d'un corps opaque de mtîme largeur que la fente; il est donc possible de distinguer les franges que donne une fente éclainV directement par le soleil, pourvu que cette fcmte soit suffisamment étroite.

Nous avons enfîn à indiquer les modifications que subit Taspert des phénomènes lorsque la fente est inclinée par rapport h la direr-

THÉORIE DE CAIICHY. A95

Pour avoir les expressions des composantes parallèles aux axes de la force élastique qui s'exerce dans la propagation de Tonde plane sur la molécule (x, y, z), il faut dans les formules (9) remplacer AÇ, A17, A^'par les valeurs que nous venons de trouver. Les forces moléculaires n'étant sensibles qu'à de très-petites distances, on peut, du moins si Ton se contente d'une première approximation, négliger les termes qui contiennent AR à une puissance supérieure à la seconde ('^; de plus, si le milieu n'est pas hémiédrique, tout est semblable de part et d'autre de l'onde, et les termes qui contiennent AR à une puissance impaire s'évanouissent comme étant la somme de quantités qui sont deux à deux égales et de signes contraires. Il vient donc, en faisant la substitution,

-^| = AR.jc„,.2.[/'(r)-4î]iîî#H

Si l'on porte dans ces équations (7) la valeur de AR tirée de (A), les composantes de la force élastique seront exprimées en fonction des angles /, m, n et a, j8, y. La grandeur et la direction de la force élastique rapportée à un déplacement égal à l'unité dépendent donc non-seulement de la direction du déplacement, mais encore de relie du plan de l'onde, contrairement h la seconde hypothèse admise par Fresnel.

^'> On verra pliis ioin que les lemies que noos regardons ici comme nf^gligeflhlefi doivent 4tre pris en rxinsidération clnn^i la théorie de In dispersion.

390 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

par ra()port à une frange centrale qui se déplace du côté de l'écran B à mesure qu'on éloigne celui-ci de la source; lorsqu'au contraire les deux écrans sont placés du même côté de SM^ les apparences sont les mêmes qu'avec un seul écran, car dans ce cas celui des deux écrans qui est en retrait sur l'autre n'a aucune influence sur le phénomène.

99. Phénomènea produits par deux fentes étroites, écoles, m bords reetiliffues et parallèles, séparées par uu intervalle opaque. — Fresnel , dans son grand travail sur la diffraction , a examiné un certain nombre de cas plus complexes que ceux dont nous avons parlé jusqu'à présent, et en particulier celui 011 l'ouverture diifringente est formée de deux fentes étroites et séparées par un intervalle opaque, ces deux fentes ayant même largeur et étant limitées par des bords rectilignes et parallèles. Lorsqu'on observe dans ce cas les phénomènes h une distance des fentes qui n'est pas trop considérable, on aperçoit dans l'image de chacune des fenle> un système de franges tout à fait semblable à celui qui est produit par une fente unique , c'est-à-dire un système dont la frange centrale change de couleur dans la lumière blanche lorsqu'on fait varier sa distance au corps diffringent. Dans l'ombre de l'intervalle opaque qui sépare les deux fentes se trouve un système de franges qui ressemblent aux franges d'interférence; la frange centrale de ce système est toujours brillante, et les franges obscures sont presque complètement noires. La production de ce dernier système de franges est facile à expliquer : si en effet les fentes sont suffisamment étroites et si l'on observe les phénomènes à une distance assez grande du cor]>s diffringent, la vitesse envoyée par chacune des fentes en un point situé dans l'ombre de l'intervalle o])aque est sensiblement constante dans loule l'étendue de cette ombre, car les franges pn>duites par une ouverture unique sont, comme nous l'avons vu, d'autant plus larges que la fente est plus étroite et que les franges sont observées à une plus grande distance du corps diffringent. Dans ces conditions, il y aura donc maximum ou minimum de lumière en un point situé dans l'ombre de l'intervalle opaque, suivant (|u'en menant par ce point un plan perpendiculaire aux bords des

DIFFRACTION. 301

fentes (lifTringeates les distances du point considéré à dflux points compris dnns ce plan et occupant sur les deux fentes des positions homologues différent d'un nombre pair ou impair de demi-longueurs d'ondulation : il résulte de là qu'il doit toujours y avoir un maximum au milieu de l'ombre de l'intervalle opaque, et que les vitesses envoyées par les deux fentes aux points qui correspondent aux minïma sont sensiblement égales et de signes contraires, ce qui montre que les minima doivent être presque entièrement noirs.

En réalité, les franges d'interférence qui se produisent dans l'ombre de l'inlervalle opaque ne tiont jamais complètement pures, car les rayons qui , en se rencontrant, donnent naissance i ces franges ont déjà été modifiés par la diffraction : dans la lumière bomogène, la frange centrale, tout en restant toujours brillante, présente un éclat plus ou moins con.sidérable suivant que, pour un point de celte frange, chacune des fentes comprend un nombre impair ou un nombre pair d'arcs élémentaires, et, par conséquent, dans la lumière blanche , cette frange centrale est toujours légèrement colorée. Les franges qui apparaissent lorsqu'on fait tomber la lumière sur deux fentes étroites et rapprochées, si elles ne sont pas très-pures, ont du moins l'avantage de pouvoir être produites arec une grande facilité : c'est à t'aide de ces franges que Young est parvenu à démontrer pour la première fois par l'expérience le principe des interférences; c'est aussi sur ces franges qu'on observe le plus aisément le déplacement dâ à l'interposition d'une Inme mince sur le trajet d'un des faisceaux interférents (2A).

Nous citerons encore une expérience remarquable de Fresnel, qui se rattache au cas de diffraction dont nous venons de parler et qu'il a présentée comme un allument contre la théorie qui attribue les phénomènes de diffraction & la déviation des rayons par les bords des corps opaques. Il découpa une feuille de cuivre de façon à lui donner la forme représentée dans la figure 78, et observa les

392 LUMIÈRE NON POLARISÉE.

franges produites par ce système diffringent' formé à la partie inférieure de deux fentes très-étroites que sépare un intervalle opaque relativement beaucoup plus large, et à la partie supérieure d'un corps opaque d'une largeur peu considérable ^'^ En éloignant du corps diffringent la loupe avec laquelle il regardait les franges, il vit bientôt les franges produites par les fentes étroites CE et DF sortir de l'ombre géométrique de CDEF, qui ne recevait plus alors que de la lumière sensiblement blanche de chacune de ces fentes : à ce moment les franges étaient très-brillantes et présentaient des couleurs très-vives dans l'ombre de CDEF, tandis que dans l'ombre de ABCD les franges étaient beaucoup moins brillantes et offraient des couleurs grisâtres. A mesure qu'on observait le phénomène à une plus grande distance du corps diffringent, l'éclalrement diminuait dans toute l'étendue de l'ombre de ABEF, mais moins rapidement dans la partie supérieure que dans la parlic inférieure, de sorte que les franges inférieures, d'abord beaucoup plus brillantes que les franges supérieures, leur devenaient à un certain moment égales en intensité, puis finissaient par devenir plus obscures, quoique leurs couleurs fussent toujours plus pures. Ces apparences peuvent s'expliquer d'une manière trèssimple : considérons un point P situé au milieu de l'ombre de ABCD; à mesure qu'on s'éloigne du corps diffringent, la portion de Fonde interceptée par le corps opaque ABCD comprend relativement au point P un nombre de plus en plus petit d'arcs élémentaires, et par conséquent l'éclaircment du point P irait en augmentant si les vitesses envoyées par chaque arc élémentaire en P ne variaient pas en raison inverse de la distance de cet arc au point P; le décroissement d'intensité résultant de l'augmentation de la distance du point P au corps diffringent se trouve ainsi ralenti. Soit au contraire un point Q situé au milieu de l'ombre de CDEF : lorsque la distance du point Q au corps diffringent augmente, les fentes CE et DF comprennent, relativement au point Q, tantôt un nombre pair, tantôt un nombre impair d'arcs élémentaires, d'où résulte dans le premier cas une augmentation et dans le second une diminution de la rapidité avec laquelle l'intensité décroît en ce point; mais il arrive toujours un

^'^ Supplément au deuiièmc Mémoire sur la difTraclion (Œuvre* compUUê, 1. 1 , p. i65 K — Mémoire courouné sur ta diffractiou ( OEuvi-eë complèUi, 1. 1 « p. 976 , 356).

DIFFRACTION. 393

instant où chacune des fentes ne comprend plus qu'une petite fraction du premier arc élémentaire, et alors les vitesses qu'elles envoient en 0 sont plus petites que celles qu'envoient en P les portions efficaces de l'onde situées de part et d'autre de ABGD, puisque ces dernières tendent à devenir égales aux vitesses qui seraient envoyées en P si l'écran opaque ABCD n'existait pas.

Si la diffraction était due à une dévialion des rayons par les bords des écrans opaques, les franges inférieures résulteraient de la superposition de plusieurs systèmes de franges et devraient, contrairement à ce qui a lieu , être moins nettes que les franges supérieures : de plus, les franges inférieures proviendraient dans cette hypothèse des rayons déviés par les quatre bords CE, DF, CE', DT'; elles devraient donc être toujours plus brillantes que les franges supérieures qui proviendraient du concours des rayons infléchis par les deux bords AC et BD.

100. Pliélioméiics produits par une petite ouverture eireulaire. — Fresnel , dans son grand mémoire sur la diff'raction, ne s'était occcupé que des phénomènes produits par les écrans rectilignes à bords indéfinis; Poisson, qui faisait partie de la commission chargée déjuger ce mémoire, remarqua que les intégrales dont l'auteur faisait dépendre le calcul des intensités de la lumière diffractée pouvaient s'évaluer exactement pour le centre de l'ombre d*un petit écran circulaire opaque et pour le centre de la projection conique d'une petite ouverture circulaire. Dans le premier cas, elles donnaient la même intensité que si Técran circulaire n'existait pas; dans le second, elles donnaient une intensité variable avec la distance et sensiblement nulle pour un certain nombre de distances déterminées par une loi très-simple. Fresnel fut invité à soumettre à l'épreuve de l'expérience ces conséquences imprévues et paradoxales de sa théorie, et l'expérience les confirma entièrement^*^.

Considérons d'abord le cas d'une petite ouverture circulaire, et supposons que le rayon qui passe par le centre de l'ouverture soit perpendiculaire au plan de cette ouverture. La distribution de la

(') Calcul de rinleiisîlé de la lumière au centre de Tombre d*un écran et d*uue ouverture circulaires éclairés par un point radieux ( OEuvrti complétée de Freenel, L I , p. 365 ).

LUMIÈRE NON POLARISÉE.

lumière s'opère évidemment suivant des lignes cireulaîres; mais, sans entrer dons le calcul complet de tous les éléments du phénomène, nous nous bornerons à cher- I cher l'éclairement du centre de la projection conique de rouverture.

Prenons pour plan de figure un plan mené par le point lumineux perpendiculairement à celui de l'ouverture circulaire (fig. 7g); soient S le point lumineux, M le centrf de l'image de l'ouverture, AB l'onde qui passe par le bord de l'ouverture, onde dont la surface se con- Tond sensiblement avec le plan de cette ouverture, D un point quelconque de la portion eRicace de cette onde. Posons