SC
CM=A, AC = r,
et désignons par p la distance variable DC. L'élément de l'onde drculaire qui a pour milieu le point D est ^at à dp, et, lorsque la figure tourne autour de la droite SC, cet élément engendre une zone dont la surface est égale à 2vpdp. La vitesse de vibration que cette zone envoie en M peut être représentée par
jwpf/psin 2ir f ^B — y)"
en désignant par S la difFérence des chemins DM et CM , et en admettant que la vitesse envoyée par l'élément de l'onde qui correspond au pt'tle (I ail pour expression
d'v sin aw .t- •
D'après la fornmie qui donne les longueurs des premiers arcs ëfmcntaires d'une onde circulaire (52). on a
DIFFRACTION. 395
la vitesse totale envoyée en M est donc égale à
X •J'rpsina,r({,-p'^5^)rfp,
el pnr siiilp on a, pour rinlensité au point M,
d'on en (in
(a -h /;) 2aoA
rintensité au point M est donc variable avec la distance de ce point h Touverture diiïringentc. Les valeurs niinima de l'intensité en M sont toutes nulles, et ces minima se produisent lorsqu'on a
(flH-6)r* 2abX ou
MA -MC^^aii-,
f-'est-à-dire lorsque la diiïérence de marche entre le rayon central MC et le rayon marginal MA est égale à un nombre pair de demilongueurs d'ondulation.
Les valeurs maxima de l'intensité sont toutes égales à & -, — ttj;
cette valeur est celle de l'intensité envoyée en M par la zone élémen* taire la plus voisine du pôle, c'est-à-dire par une calotte sphérique ayant pour pôle le point C et limitée par une circonférence telle, que la diiïérence des distances du point M au point C et à un point de cette circonférence soit égale à une demi-longueur d'ondulation ; la vitesse envoyée par cette première zone élémentaire en M étant double de celle qu'enverrait en M l'onde sphérique tout entière, il en résulte que les valeurs maxima de l'intensité en M sont égales au quadruple de l'intensité que produirait en ce point l'onde sphérique tout entière.
396 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
L'intensité est maximum en M lorsqu'on a
(rt-4- ft)r* 2/1-4-1
ou
c'est-à-dire lorsque la différence de marche du rayon central et du rayon marginal est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation.
Les résultats que nous venons d'obtenir par le calcul peuvent se déduire facilement de lu théorie élémentaire de la diffraction. Supposons en effet que la caloUc efficace de l'onde sphérique soit décomposée en zones élémentaires, ainsi que nous l'avons expliqué précédemment (53) : les surfaces de ces zones, qui sont toutes voisines du pôle, sont sensiblement égales. Si la calotte efficace contient un nombre pair de zones élémentaires, c'est-à-dire si la différence de marche du rayon central et du rayon marginal est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation , les vitesses envoyées au point M par les différentes zones élémentaires se détruisent donc presque complètement, et l'intensité en M'est voisine de zéro; si au contraire la calotte efficace contient un nombre impair de zones élémentaires, son effet se réduit sensiblement à celui qu'exerce la première zone élémentaire, et, par conséquent, l'intensité en M est égale au quadruple de celle que produirait l'onde sphérique tout entière.
Les expériences au moyen desquelles Fresnel a vérifié les conséquences de la théorie relatives à l'éclairement du centre de la projection conique d'une ouverture circulaire ont été exécutées, les unes avec la lumière rouge homogène , les autres avec la lumière blanche. Lorsqu'on opère avec la lumière homogène, il est difficile de déterminer avec précision les distances pour lesquelles l'intensité présente un maximum ou un minimun, et la comparaison des résultats de l'observation avec ceux du calcul n'offre dans ce cas aucune espèce de rigueur. Lorsqu'on emploie la lumière blanche, on peut au contraire, pour une distance déterminée du plan dans lequel on observe les phénomènes à l'ouverture diffringente, calculer les intensités des i>e|)t espèces principales de rayons au centre de l'image de l'ouvcr-
DIFFRACTION. 397
ture, en déduire, en se servant de la formule empirique donnée par Newton pour les mélanges de rayons colorés, la teii)te que doit présenter ce point, et comparer cette teinte à celle que donne lexpérience. Cette comparaison , faite d'abord par Fresnel , et plus tard par M. Abria, a toujours confirmé les résultats de la théorie.
Lorsqu'on observe les phénomènes à une distance de plus en plus grande de l'ouverture diffringente, l'éclairement du centre de la projection conique de l'ouverture tend vers une certaine limite : la différence de marche du rayon marginal et du rayon central est en effet représentée par
lorsque b augmente indéOniment, cette différence tend donc vers une valeur limite égale à — , et par suite l'éclairement variable du point considéré tend vers un état fixe qui est déterminé par la valeur de la quantité — . Lorsque la distance b devient supérieure à
y 1 la partie variable -7 de la différence de marche devient inférieure à - et ne peut plus par conséquent diminuer de - ; donc, lorsque la
distance b croit à partir de la valeur y « il ne peut plus se produire
au centre de l'image de l'ouverture diffringente qu'un seul maximum ou un seul minimum; à partir de la distance qui correspond à ce maximum ou à ce minimum, l'intensité ira constamment en décroissant ou constamment en croissant, et tendra vers la limite que nous venons d'indiquer.
101. Pliénoinèiics produits pur un petit émrmn cii totre. — Supposons que la lumière émanée d'un point lumineux tombe sur un écran de forme circulaire et de petit diamètre, et que le rayon qui passe par le centre de cet écran soit perpendiculaire au plan de l'écran. En répétant les raisonnements qui nous ont servi à déterminer l'action d'une onde sphérique sur un point extérieur (53), on voit immédiatement que la vitesse envoyée au centre de lombre géométrique de l'écran est égale h la moitié de celle qu'en-
398 LUMIÈRE NON POLARISÉE.
verrait en ce point la première zone élémentaire de la région efficace de l'onde sphérique qui passe par le bord circulaire de l'écran. Gomme l'écran est de petite dimension , et que sur une onde sphérique les zones élémentaires, jusqu'à une petite distance du pôle, ont des surfaces sensiblement égales , la vitesse envoyée au centre de l'ombre géométrique diffère très-peu de la moitié de celle qu'enverrait en ce point la zone élémentaire la plus voisine du pôle; la vitesse envoyée par une onde sphérique en un point extérieur étant égale à la moitié de celle qu'envoie la zone élémentaire la plus voisine du pôle, l'éclairement au centre de l'ombre géométrique de l'écran circulaire sera sensiblement le même que si IVcran n'existait pas. Cette conséquence singulière, déduite par Poisson de la théorie de Fresnel, fut immédiatement vérifiée par Arago au moyen d'un écran circulaire de s millimètres de diamètre.
1 02. Pliéii#inèiics de dlffipactloii olMierirés dans nette lorsque l'eeulalre n'est pus »u puant» — Nous avons vu (78) que l'image d'une étoile dans une lunette douée d'un fort grossissement se compose, lorsque l'oculaire est mis exactement au point, d'une tache brillante entourée d'anneaux alternativement obscurs et brillants. Arago a remarqué que, si l'on enfonce graduellement Toculaire, le disque brillant qui occupe le centre de l'image de l'étoile se dilate et présente bientôt en son milieu un point noir qui se dilate à son tour de façon à former une tache obscure; en enfonçant davantage l'oculaire, on voit un disque brillant succéder au disque obscur, et ainsi de suite ^*^ L'explication de ces apparences se rattache facilement à la théorie des phénomènes produilN par une ouverture circulaire. La lunette est en effet toujours munie d'un diaphragme de forme circulaire , et l'onde sphérique concave ayant pour centre le foyer principal F (fig. 8o), qui se forme aprè> que la lumière a traversé l'objectif, peut toujours être ronsidéré«* dans la position AGB ou elle passe par le bord du diaphragme, position qui est réelle ou virtuelle suivant que le diaphragme se trouve placé après ou avant l'objectif. Lorsque l'oculaire est au poini,
('^ Notice sur la sdnlilUtion. {ORutrei ampUtei, I. Vît, p. i. — Anmimire du harftm dM hmgitudei pour tSTtSj p. 36«3.)
DIFFRACTION. S99
il se forme sur la rétine une image nette des points situés dans le plan mené par le foyer principal F perpendiculairement à l'axe principal; mais, lorsqu'on enfonce l'oculaire, le plan dont l'imago se dessine sur la rétine est ie plan mené perpendiculairement à l'axe principal par un point M situé entre le foyer principal et l'objeclif.
Les éclniremenlR des ditîérenls points de l'image rétinienne sont alors proportionnels aux éclairements des points correspondants du plan passant par le point M; pour connaître t'éclairement du rentre de l'image, il suffit donc de calculer l'intensité envoyée en M par >nde AGB limitée par le diaphragme circulaire. Posons tk cet
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