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1 î 4^ ni y,^

Donc , lorsqurnie mide plane se propage sans altération dam un mi" lieu homogène, m vitesse de propagation est proportionnelle à la racine carrée de la force élastique dét^eloppée par le mouvement ^une de ses molécules.

On retrouve ainsi sans faire aucune hypothèse l'un des principes admis sans démonstration par Fresnel.

'i94 DOUBLE RÉFRACTION.

133. Kxpre^ftlon «SAlTtique des fereMi éliMMques 4éve- ■•ppécs dan» 1» projpasatiaii d'une •nde plane. — Nous allons maintenant appliquer à la propagation d'une onde plane dans un milieu homogène les formules établies plus haut pour un système quelconque de molécules en mouvement, et chercher quelle doit être la direction du déplacement pour que l'onde plane se propage sans altération.

Soient l,fn, n les angles formés avec les axes, que nous supposons toujours choisis arbitrairement, par la normale à une onde plane, et R la distance de cette onde à l'origine; les coordonnées x, y, z d'un point de l'onde plane satisferont à l'équation

(3) xcos/ + y cosm-i-2Cosn= R.

De même, si x + ^, y + Ay, z + Az désignent les coordonnées d'un point d'une deuxième onde plane parallèle à la première, et R + AR la distance de cette deuxième onde à l'origine, on aura, en tenant compte de l'équation (3),

(4) àx cos /+ Ay cos m + Az cos n = AR.

Soient maintenant ^, v, K 1^^ projections sur les axes du déplacement e que reçoit n un certain moment la molécule dont les coordonnées sont Xy y, z, ei a, fiyy les angles que fait ce déplacement avec les axes. D'après ce que nous aïons vu plus haut ( 1 33), on aura

(5) Ç-^(p(R-V/)co8«, i;^-(p(R-Vr)cos/3, Ç = (p(R-Vi)cosy.

Si l'on représente par f + A^, i? + A>? , Ç + AÇ les projections sur les axes du déplacement que subit au même moment la molécule dont les coordonnées sont x + Ax, y + Ay, z+ Az, et si Ton suppose que l'onde plane se propage sans altération et que par conséquent les angles a, jS, 7 soient constants, on déduira des équations (5) les valeurs suivantes pour AÇ, Air, AÇ :

THÉORIE DE CACICMY. 495

Pour avoir les expressions des composantes parallèles aux axes de la force élastique qui sVxerce dans la propagation de Tonde plane sur la molécule {jr, y, z)^ il faut dans les formules (9) remplacer A^, An 9 AÇ'par les valeurs que nous venons de trouver. Les forces moléculaires n'étant sensibles qu'à de très-petites distances, on peut, du moins si Ton se contente d'une première approximation, négliger les termes qui contiennent AR à une puissance supérieure h la seconde ^'^; de plus, si le milieu n'est pas hémiédrique^ tout est semblable de part et d'autre de l'onde, et les termes qui contiennent AR à une puissance impaire s'évanouissent comme étant la somme de quantités qui sont deux à deux égales et de signes contraires. Il vient donc, en faisant la substitution,

Si l'on porte dans c«»s équations (7) la valeur de AR tirée de (4). les composantes de la force élastique seront exprimées en fonction des angles /, m, it et a, jS, 7. La grandeur et la direction de la force élastique rapportée h un déplacement égal h l'unité dépendent donc non-seulement de la direction du déplacement, mais encore de celle du plan de l'onde, contrairement à la seconde hypothèse admise par Fresnel.

^'^ On verra piiM loin que le* [emws que nous r^arrtons iri rnmme négii^enhle» cloiviml Mn pris en ronnidi^ralion flans la Uiéorie de la iliapersion.

Pour simplifier les résultats obtenus en substituant la valeur de AR dans les équations (7) , il suffit de choisir pour axes des cooi^ données les trois axes d'élasticité du milieu (122). Les trois plans menés par la molécule [x, y, z) parallèlement aux plan^ coordonnés sont alors des plans de symétrie, c*est*à-dire qu'à chaque molécule située d'un côté d'un de ces plans correspond une molécule de même masse située de l'autre côté du plan et à la même distance de ce plan que la première , d'où il résulte que tous les termes contenant l'une des quantités Ax, ày, Az h une puissance impaire s'évanouissent. Donc, en pf*enant pour axes des coordonnées les axes d'élasticité du milieu , on a

oos«.[2,/f-Ay»-|-2.[/'(r)-^^] ^) + cos«„[2.£;iAz« + 2,[/'(r)-^]^')l

+ a cos /S cos / cos m 2^ [/(r) - '^l ^^'

+ 9 cosy cos /cos n2fx ify') — '^ 1 — p — ' X' Y I 'c Tr,/ \ /(r)! Ax'Av*

icos»;[2,^A:r^4-24/'(r)-/^]^]| s/3 +cos''m[2M-^Aî,«+2^[/'(r)-'^]^]'

i — = ros a < +

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