îK COS/COS II

; R-^- *?F cos/cos w.

THÉORIE DE CAUOHY. 499

f>l l'on a alors

Les directions dëfinies par les équations (t i) sont donc parallèles au\ trois axes d'une surface du second degré dont IVcpiation est

[( Jl + A) cos« l + ivh+ V) cos2 m H- (O + E) cos2 ii | ^r^

+ f (cHo 4- F) cos^ / + (!&+ B) cos*^ m + (£ 4- U ) cos^ w] y» ^^ +p, + E)cos2/4-(ifi, + D)cos2m + (G + C)cos2|i]j2

+ /i[)cosmcoswyc + /iEcos/cosw.r:-|- ^iFcos/cosm.ry^^ i.

La force élastique U tendant toujours à ramener la molécule m \ers sa position d'équilibre, U est constamment négatif, et par suite les valeurs de S qui correspondent aux trois groupes de valeurs déterminées pour les angles a, jS, y par les équations (i*î) sont toutes trois positives. La surface représentée par l'équation (toja donc ses trois axes réels et ne peut être qu'un ellipsoïde, (lauchy a donné à cette surface le nom d* ellipsoïde de poliirisaliofi.

Donc, étant donnée une onde plane, définie par les angles /, m, n que la normale à cette onde fait avec les trois axes ff élasticité du milieu, f/ existe toujours pour les déplacements moléculaires trois direction rectangulaires telles, que Yonde puisse se propager sans altération, et ces trois directions sont parallèles aux axes de V ellipsoïde de polarisation.

Si la direction du déplacement sur l'onde plane est quelconque, on peut décomposer ce déplacement parallèlement aux trois axes de IVIlipsoîde de polarisation; d'où il suit (|u*en général une onde plane donne naissance à trois systèmes d'ondes |danes se propageant avec des vitesses différentes.

Les vitesses de propagation des ondes planes sont , comme nous l'avons démontré (132), proportionnelles à la racine carrée de U, et par conséquent, d'après Téquation (i &), à la racine carrée de S; d'où l'on peut conclure que les vitesses de propagation sont en raison inverse de In longtteur de l'axe de fellipsmde de polarisation auquel est parallèle le déplacement.

Gomme à chaque direction de propagation normale correspondent trois systèmes d'ondes planes se propageant avec des vitesses différentes, il semble que la surface de l'onde doive être à trois nappes et que, dans le cas général, chaque rayon incident doive donner naissance à trois rayons réfractés et non pas h deux seulement, comme le montre l'expérience. Il s'agit donc maintenant de voir s'il est possible d'établir entre les coefficients A, B, G, cHo, ^, G, D, E, F, dont dépend la constitution du milieu, des relations telles, que l'accord entre la théorie et l'expérience se trouve rétabli.

135. ImpoMlbilifé des v^lbratlaiM rlffOiireiuiemeBt trmtÊmvermmUem dan» les milieux non isotrope** — La difliculte que nous venons de signaler, et qui résulte de ce que la surface de l'onde est à trois nappes dans le cas le plus général, disparaît si le milieu est constitué de telle façon que deux des directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane soient toujours parallèles au plan de l'onde, quelle que soit la direction de ce plan; car on peut supposer alors que les vibrations parallèles à la troisième direction, c'est-à-dire perpendiculaires au plan de l'onde, ne sont pas susceptibles d'impressionner la rétine. Gherchons donc quelles sont les relations qui doivent exister entre les coefficients qui caractérisent un milieu pour que, dans ce milieu, des trois directions auxquelles peuvent être parallèles les vibrations d'une onde plane , deux soient rigoureusement transversales et la troisième longitudinale, quelle, que soit la direction du plan de l'onde, ou, en d'autres termes, pour que les équations (ii) soient satisfaites, quels que soient les angles /, m^ n^ en y faisant

En remplaçant respectivement dans les équations (ii) a, j3, 7 par l, m, n, ces équations deviennent

Acos^ /-h 3F€os2m+ SEcos^w = 3Fcos2/+ Bcos«m-h 3D cos*ji

=^ 3E cos' /+ 3D cos* wi -h C cos* n.

En éliminant cos / entre ces dernières relations et l'équation

cos^ / + cos*^ m + cos^ w = 1 ,

il vient

A + (3F - A) cos» m+ (3E - A) cos» n

= 3F + (B-3F)cos2m + 3(D-F)cos«w

= 3E-h3(D-E)cos«m + (C -3E)cos«n.

Pour que ces relations soient vérifiées quels que soient les angles m et n, il faut que Ton ait

d*ou Ton tire facilement

Les conditions ainsi obtenues expriment évidemment que le milieu est isotrope ; donc , dans les milieux non isotropes , il est impossible que les vibrations soient rigoureusement transversales pour toute direction du plan de Tonde. Toutes les fois qu'il s'agit d'un milieu non isotrope, on ne peut, par aucune hypothèse sur les relations entre les coefficients, échappera la difficulté que nous avons indiquée et faire rentrer rigoureusement la théorie de Fresnel dans celle de (^auchv.

136. Vlbr»ti«B0 vuMil-triiMiYenmles. — Tous les milieux biréfringents connus sont doués d'une double réfraction très-faible et diffèrent peu, par conséquent, des milieux isotropes. Les conditions (i6), qui sont satisfaites rigoureusement dans les milieux isotropes, le sont donc d'une manière approchée dans les milieux biréfringents ; d'où il résulte que , dans ces derniers milieux , des trois directions que peuvent avoir les vibrations d'une onde plane, deux sont toujours à peu pris parallèles au plan de cette onde et la troisième à peu prie perpendiculaire à ce plan. Les deux premières directions sont dites quasi-iransvenales et la troisième quati'-lùngiiU' dinalê. Des trois systèmes d'ondes planes qui correspondent à une même direction de propagation normale, deux sont donc à vibrations quasi-transversales et le troisième à vibrations quasi-longitu-

502 DOUBLE REFRACTION.

(iinales; si Ton admet (]ue ce dernier système d'ondes ne produit pas d'effet sensible sur l'œil, la limitation à deux du nombre des rayons réfractés , dans les milieux non isotropes, se trouve expliquée. Le plan des deux vibrations quasi-transversales différant peu du plan de Tonde, les sections faites par ces deux plans dans Tellipsoîde de polarisation sont à peu près identiques; les vitesses de propagation des deux systèmes d'ondes qui correspondent aux vibrations quasi -transversales sont donc approximativement en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de l'onde. Il résulte de là que, si la section faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de l'onde coïncide avec la section faite par le même plan dans l'ellipsoïde (E) de Fresnel, dont l'équation est

les résultats de la théorie de Cauchy concorderont d'une manière approchée avec ceux de la théorie de Fresnel. Il nous reste à voir (juelles sont les relations qui doivent exister entre les coeflicients (|ui entrent dans l'équation de l'ellipsoïde de polarisation pour qu'il puisse en être ainsi quelle ([ue soit la direction de l'onde plane.

137. Concordance approxinMiiivc entre I» théorie 4e Freenel et celle de C^oucity. — Nous déduirons un premier groupe de relations, entre* les coeflicients qui iigurent dans l'équation de l'ellipsoïde de polarisation, de cette loi expérimentale que. quand un rayon passe d'un milieu isotrope dans un milieu cristal* lise à deux axes, toutes les fois que le plan d'incidence coïncide avec l'un des plans de symétrie du second milieu , l'un des rayons réfractés est polarisé dans ce plan et suit la loi de Descartet». Il résulte de cette loi (|ue, si la normale à une onde plane est comprise dans l'un des plans de symétrie du milieu et si Tonde est polarisée dans ce plan, la vitesse de propagation de cette onde est indépendante de la direction de .la normale. Ainsi la vitesse de propagation sera la même pour une onde plane polarisée dans le plan desxy, que cette onde soit normale à l'axe des a: ou à l'axe des y, les troû» axi's des coordonnées étant les axes d'élasticité du milieu.

Si Ton suppose, comme Ta d'abord fait Cauchy, que dans la lumière polarisée les vibrations s'effectuent parallèlement au plan do polarisation, les vibrations de deux ondes, toutes deux polarisées dans le plan des xy et normales l'une à l'axe des x, l'autre à l'axe des y, sont parallèles pour la première onde à l'axe des y, pour la seconde à Taxe des j;, et la considération de l'ellipsoïde de polarisation montre que les vitesses de propagation de ces deux ondes

sont proportionnelles respectivement à ^X + F et à Y/ifi>+F;on doit donc avoir dans cette hypothèse

En considérant deux ondes polarisées dans le plan des yz et normales Tune à l'axe des y, l'autre à l'axe des z, on ferait voir de même qu'on doit avoir

On tire de ces deux relations

condition qui ne peut être satisfaite dans un milieu non isotrope qu'autant que les trois coefficients oA», lli), Csont nuls. Or Cauchy a démontré ^^^ que, si ces coefficients sont nuls, il en est de même, lorsque le milieu est en équilibre , de la pression supportée par tout élément plan qu'on peut considérer dans l'intérieur de ce milieu. Bien que l'existence d'un milieu où. dans l'état d'équilibre, la pression serait nulle n'ait rien d'absurde ni de contradictoire, il est cependant plus naturel, et plus conforme à ce que nous observons dans les milieux où nous pouvons mesurer la pression, de supposer que l'équilibre résulte de deux pressions égales et de sens contraire se détruisant mutuellement.

Nous sommes ainsi conduits à rejeter l'hypothèse qui nous a servi de point de départ, c'est-à-dire celle des vibrations parallèles au plan de polarisation , sans qu'on puisse dire pour cela que les phé-

'' Kjferc. de MathêmaLy I. 111, p. si 3.

nomènes de ia double réfraction permettent de décider d'une façon absolue entre les deux hypothèses qu'on peut faire sur la direction des vibrations dans la lumière polarisée.

Revenons donc à l'hypothèse adoptée par Fresnel, c'est-à-dire supposons les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Dans cette hypothèse les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xy et normales l'une à l'axe des x, l'autre à l'axe des y« sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des z; d'où il résulte, d'après l'équation de l'ellipsoïde de polarisation, que les vitesses de propagation de ces deux ondes planes sont respectivement proportionnelles à y/cHo+E et à y/qJb + D. Ces deux vitesses devant être

égales, on a

Jt + E=:i)i-hD.

De même, les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xz et normales Tune à l'axe des x, l'autre à l'axe des z, sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des y; les vitesses de propagation de ces deux ondes sont par conséquent proportionnelles à

y/<A> + F et à y G + D. Ces deux vitesses devant encore être ^les, on à

cA, + F = G + D.

Enfin, les vibrations de deux ondes polarisées dans le pian des yz et normales l'une à l'axe des y, l'autre à l'axe des z, sont, pourios deux ondes, parallèles à l'axe des x, et, en égalant les vitesses de propagation de ces deux ondes , on a