DÎ,4.F-=G+E

Nous obtenons ainsi entre les coefficients de l'ellipsoïde de polarisation trois relations

l + E-ilî) + D;

THÉORIE DE CAUGHY. 305

mais en réalité ces trois relations se réduisent à deux , car, en por* tant dans la seconde la valeur de C tirée de la première , on retrouve

la troisième.

Si les équations (17) sont satisfaites , les vibrations parallèles à l'un quelconque des trois axes d'élasticité du milieu se propageront avec la même vitesse, que la normale à l'onde plane soit parallèle à l'un ou à l'autre des deux autres axes; la théorie de Gauchy concor* dera donc alors avec celle de Fresnel, pour le cas oit l'onde plane est normale à l'un des axes d'élasticité. En désignant, comme dans la théorie de Fresnel » par a, b, des vitesses de propagation des vibrations parallèles respectivement aux axes des x, des y et des z, et en prenant pour mesure des vitesses de propagation les inverses des axes de Tellipsoîde de polarisation , les équations ( 1 7) donnent

/ a3=ilî, + F = G + E,

(t8) j i2=G + D = eit + F,

( c« = cfc, + E = UÎ) + D.

Nous allons chercher maintenant quelles sont les conditions qui doivent être ajoutées aux relations (17) pour que, dans tous les cas, les sections faites par l'onde plane dans l'ellipsoïde de polarisation et dans l'ellipsoïde (E) de Fresnel coïncident, c'est-à-dire pour que les deux théories de Fresnel et de Gauchy donnent des résultats sensiblement concordants, quelle que soit la direction de l'onde plane.

L'équation de l'ellipsoïde de polarisation , en tenant compte des équations ( 1 7) et de la relation

cos' /-f cos^ m + cos' n = 1 , devient

[(Jt + A- Ub - F) cos«/+ ilb - F] x^

+ [(ill> + B-.A,~F)cos2m + c^-F]y«

+ [(C + G ~ rA, ~ E) cos^ n + rH -- E] z^

+ àDcosmcosnyz+ liE cos I cos n xz + tiF cos/ cosmjîy= 1,

502 DOUBLE REFRACTION.

(iinaies; si Ton admet (}ue ce dernier système d'ondes ne produit pas d'effet sensible sur Tœil, la limitation à deux du nombre des rayons réfractés, dans les milieux non isotropes, se trouve expliquée. Le plan des deux vibrations quasi-transversales différant peu du plan de Tonde, les sections faites par ces deux plans dans Tellipsoîde de polarisation sont à peu près identiques; les vitesses de propagation des deux systèmes d'ondes qui correspondent aux vibrations quasi -transversales sont donc approximativement en raison inverse des longueurs des axes de la section elliptique faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de Tonde. Il résulte de là que, si la section faite dans Tellipsoïde de polarisation par le plan de Tonde coïncide avec la section faite par le même plan dans Tellipsoïde (E) de Fresnel, dont l'équation est

les résultats de la théorie de Cauchy concorderont d'une manière approchée avec ceux de la théorie de Fresnel. Il nous reste à voir quelles sont les relations qui doivent exister entre les coefficients (|ui entrent dans Téquation de Tellipsoïde de polarisation pour qu'il puisse en être ainsi quelle que soit la direction de Tonde plane.

137. Concordance approximative entre la théorie de Freonel et eelle de Cauelty. — Nous déduirons un premier groupe de relations, entre* les coefficients qui figurent dans Téquation de Tellipsoïde de polarisation, de cette loi expérimentale que, quand un rayon passe d'un milieu isotrope dans un milieu cristaU lise à deux axes, toutes les fois que le plan d'incidence coïncide avec Tun des plans de symétrie du second milieu, Tun des rayons réfractés est polarisé dans ce plan et suit la loi de Descartes. Il résulte de cette loi que, si la normale à une onde plane est comprise dans Tun des plans de symétrie du milieu et si Tonde est polarisée dans ce plan, la vitesse de propagation de cette onde est indépendante de la direction de .la normale. Ainsi la vitesse de propagation sera la même pour une onde plane polarisée dans le plan des xy^ que cette onde soit normale à Taxe des x ou à Taxe des y, les trois axes des coordonnées étant les axes d'élasticité du milieu.

Si Yon suppose, comme Ta d'abord fait Cauchy, que dans la lumière polarisée les vibrations s'effectuent parallèlement au plan de polarisation, les vibrations de deux ondes, toutes deux polarisées dans le plan des wy et normales Tune à l'axe des x, l'autre à l'axe des y, sont parallèles pour la première onde à l'axe des y, pour la seconde à l'axe des j;, et la considération de l'ellipsoïde de polari* sation montre que les vitesses de propagation de ces deux ondes

sont proportionnelles respectivement à v/jl + F et à v/iJb+F; on

doit donc avoir dans cette hypothèse

En considérant deux ondes polarisées dans le plan des yz et normales l'une à l'axe des y, l'autre à l'axe des z, on ferait voir de même qu'on doit avoir

On tire de ces deux relations

condition qui ne peut être satisfaite dans un milieu non isotrope qu'autant que les trois coefficients JU, llî?, Gsont nuls. Or Cauchy a démontré ^^^ que, si ces coefficients sont nuls, il en est de même, lorsque le milieu est en équilibre , de la pression supportée par tout élément plan qu'on peut considérer dans l'intérieur de ce milieu. Bien que l'existence. d'un milieu où, dans l'état d'équilibre, la pression serait nulle n'ait rien d'absurde ni de contradictoire, il est cependant plus naturel, et plus conforme à ce que nous observons dans les milieux où nous pouvons mesurer la pression, de supposer que l'équilibre résulte de deux pressions égales et de sens contraire se détruisant mutuellement.

Nous sommes ainsi conduits à rejeter l'hypothèse qui nous a servi de point de départ, c'est-à-dire celle des vibrations parallèles au plan de polarisation , sans qu'on puisse dire pour cela que les phé-

^'^ Exerc. de Mathémat.^ t. III, p. 91 3.

iM« DOUBLE REFRACTIO.V

noinène» de la double réfraction permettent de décider d^nne façon alMoloe entre les deax hypothèses qu'on peut faire sur la direction des nbrations dans la lumière polarisée.

Revenons donc à lliypothèse adoptée par Fresnel. c'est-4-dire supposons les vibrations perpendiculaires au plan de polarisation. Dans cette hypothèse les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xy et normales Tune à Taxe des x, Tautre à l'axe des y« sont, pour les deux ondes» parallèles à Taxe des z; d'où il résulte, d'après l'équation de l'ellipsoïde de polarisation, que les vitesses de propagation de ces deux ondes planes sont respectivement proportionnelles à y/X+ E et à y q(2> -f D. Ces deux vitesses devant être

égales, on a

Jlo + E=ifi>-hD.

De mémo, les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des xz et normales Tune à l'axe des x, l'autre à Taxe des z, sont, pour les deux ondes, parallèles à l'axe des y; les vitesses de propagotion de ces deux ondes sont par conséquent proportionnelles à

on 6

c)lo + F = G + D.

Enfin, les vibrations de deux ondes polarisées dans le plan des yz et normales Tune à Taxe des y, l'aulre à l'axe des z, sont, pour les deux ondes, parallèles à Taxe des x, et, en égalant les vitesses de propagation de ces deux ondes, on a