DÎ>+F = G + E
Nous obtenons ainsi entre les coefficients de l'ellipsoïde de polarisation trois relations
aJ5,+ F = G + E, (17) j G + D=^c*,+ F,
4 + E-ilî) f D:
THÉORIE DE GAUGHY. 505
mais en réalité ces trois relations se réduisent à deux, car, en portant dans la seconde ia valeur de C tirée de la première , on retrouve
la troisième.
Si les équations ( 1 7) sont satisfaites , les vibrations parallèles à Tun quelconque des trois axes d'élasticité du milieu se propageront avec la même vitesse , que la normale à Tonde plane soit parallèle à l'un ou à l'autre des deux autres axes; la théorie de Gauchy concordera donc alors avec celle de Fresnel, pour le cas où Tonde plane est normale à Tun des axes d'élasticité. En désignant, comme dans la théorie de Fresnel, par a, b, des vitesses de propagation des vibrations parallèles respectivement aux axes des x, des y et des z, et en prenant pour mesure des vitesses de propagation les inverses des axes de Tellipsoîde de polarisation, les équations (17) donnent
/ a2,ii,+ F = G + E,
(18) j i2=G + D = eil, + F,
( c« = cfc, + E = ifi, + D.
Nous allons chercher maintenant quelles sont les conditions qui doivent être ajoutées aux relations (17) pour que, dans tous les cas, les sections faites par Tonde plane dans l'ellipsoïde de polarisation et dans l'ellipsoïde (E) de Fresnel coïncident, c'est-à-dire pour que les deux théories de Fresnel et de Gauchy donnent des résultats sensiblement concordants, quelle que soit la direction de Tonde plane.
L'équation de l'ellipsoïde de polarisation, en tenant compte des équations (17) et de la relation
cos^ /+ cos^ m 4- cos^ n = 1 , devient
[(cfe + A~-ifi,~F)cos2/+i)b-F]x^
-h[(llî) + B-^cil,-F)cos2m + cJl>-F]y2
+ [ (G + C - rA, ~ E ) c os2 n + rH - E ] z^
+ AD cos m cosnyz + 6E cos / cos n xz -+- AF cos l costnxy^ i,
506 DOUBLE RÉFRACTfON.
[(c)l> + A-l)b-F)cos2/+a2]^+[(.|(i,4-B-cAo-F)cos2m+i2jy2
+ [(G+C--c)lo-E)cos2n^+c2]z2
+ 4D cos m cos nyz + 4E cos Icosnxz-i- ^F cos / cos m^ = i .
L*équation de l'onde plane est
a; cos /+ y cos m + 2 cos n = o .
En éliminant x entre cette équation et celle de Tellipsoïde de polarisation, on obtient l'équation suivante, qui représente la projection sur le plan des yz de la section faite dans l'ellipsoïde de polarisation par le plan de l'onde.
[aP cos^ m + i'^ cos^ /+ ( A -f B - 6F) cos* / cos* m] y*
+ [a*cos*n + c*cos*/4-(A + C — 6E) cos*/cos*n] z^ + 3 [(cH + A— ifc + aD- aE— 3F) cos*/4-a^] cosm cosnyr = cos* /.
On trouve de même, pour l'équation de la projection sur le plan des yz de la section faite par le plan de l'onde dans l'ellipsoïde (E),
(a* cos* m+b'^ cos* /) y* + (a* cos* n + t? cos* /) c*
